Variación: Qué es, tipos y ejemplos
¿Qué es la variación?
La variación, en el ámbito de las matemáticas, es cada una de las posibles combinaciones (tuplas) que se pueden constituir a partir de un grupo de elementos.
- En las variaciones, a diferencia de las combinaciones, el orden de los elementos sí importa, lo que diferencia a ambos conceptos dentro de la teoría de conjuntos.
- Se distinguen dos tipos principales de variaciones: con repetición, donde un mismo elemento puede aparecer más de una vez en una tupla, y sin repetición, donde los elementos no se repiten dentro de una tupla.
- El concepto de tupla, esencial en el estudio de las variaciones, se refiere a una secuencia ordenada y finita de elementos.
Variación: Explicación sencilla
Es decir, se denomina variación a cada una de las posibles agrupaciones que se pueden formar con los elementos de un determinado conjunto, por ejemplo, de números u objetos.
Si tenemos x cantidad de elementos, podemos formar tuplas con una cantidad n de elementos, presentándose una diversa variedad de alternativas. Esto último dependerá de si es posible o no repetir elementos en una misma tupla.
Otro asunto importante a tener en cuenta es que, a diferencia de las combinatorias, en las variaciones sí influye el orden en el que están colocándose los elementos.
Asimismo, las variaciones se diferencian de las permutaciones en que, en este último caso, se toman siempre todos los elementos puestos a disposición y no un subconjunto.
¿Qué es una tupla?
Una tupla es una secuencia o lista ordenada y finita, cuyos elementos son denominados componentes. Es decir, una tupla no podría ser conformada por todos los números naturales y enteros mayores a 3, pues se trata de un conjunto infinito.
Tipos de variaciones
Los tipos de variaciones pueden ser dos:
- Variaciones con repetición: Cuando dentro de cada tupla se puede repetir un elemento más de una vez. Por ejemplo, si tenemos:
A={3,6,7}
Para tuplas de dos elementos, las variaciones posibles serían las siguientes:
{3,3};{3,6};{3,7};{6,3};{6,6};{6,7};{7,3};{7,6};{7,7}
La fórmula para calcular el número de variaciones con repetición es la siguiente, donde x es el número total de elementos y n, el número de elementos de cada tupla:
xn
Por lo tanto, en el ejemplo mostrado, se resolvería: 32=9.
- Variaciones sin repetición: Significa que los elementos no se pueden repetir dentro de una misma tupla. Por ejemplo, si tenemos el mismo conjunto A del caso anterior, las variaciones sin repetición serían:
{3,6};{3,7};{6,3};{6,7};{7,3};{7,6}
En este caso, la fórmula a seguir sería:
x!/(x-n)!
En el numerador de la fórmula, tenemos el factorial del número total de elementos, mientras que en el denominador está el factorial de la resta del número total de elementos menos el número de elementos de la tupla. Entonces, en el ejemplo mostrado, se resolvería:
3!((3-2)!=3x2x1/1!=6/1=6
