Bisectriz de un triángulo

La bisectriz de un triángulo es un segmento que divide uno de sus ángulos interiores en dos parte iguales y se prolonga hasta llegar al lado opuesto a ese ángulo. A cada ángulo interior del triángulo le corresponde una bisectriz.

Debemos notar entonces que todo triángulo tiene tres bisectrices, cada una de las cuales parte de cada vértice hacia el lado opuesto.

Como vemos en la imagen, sus bisectrices se cruzan en el punto I que es el incentro. Este es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Dicha circunferencia es, a su vez, tangente a la figura.

Cabe notar además que en la imagen los segmentos AD, FC y BE son las bisectrices interiores del triángulos, las cuales se calculan con las siguientes fórmulas:

Donde s es el semiperímetro:

Recordemos que las bisectrices son rectas, es decir, elementos unidimensionales que se extienden indefinidamente en un sola dirección, no tienen ni un origen ni un final. Sin embargo, sí puede calcularse la longitud de las bisectrices interiores que son los segmentos dentro del triángulo.

Otro punto a resaltar es que el incentro equidista de los lados del triángulo, es decir, observando la imagen superior, el segmento ID es igual al segmento IE y, a su vez, igual al segmento IF.

Cabe señalar además que las tres bisectrices de un triángulo equilátero serán iguales, y si la longitud del cada uno de los lados de la figura es L, entonces la longitud de cada bisectriz será:

Teorema de la bisectriz

El teorema de la bisectriz nos indica que el ratio entre la longitud de dos lados que forman el ángulo relativo a una de sus bisectrices, es igual a la división entre las longitudes de los segmentos en los que queda dividido el lado que corta la respectiva bisectriz.

En términos matemáticos, en la imagen de abajo, siendo AD una bisectriz interior, se cumpliría que:

Asimismo, se cumple que:

Ejemplo de bisectriz

Supongamos que tenemos un triángulo cuyos lados miden 10, 17 y 13 metros. ¿Cuánto miden sus bisectrices interiores? (s es el semiperímetro y las bisectrices son b1, b2 y b3.