Método de reducción

Es decir, con operar nos referimos a sumar, restar y multiplicar.

Sin embargo, si necesitamos resolver un sistema de ecuaciones, también se puede hacer con otros métodos. Estos métodos son el de igualación y sustitución, que aunque funcionan de distinta forma, resuelven las incógnitas con los mismos valores que le pertenecen. Un método no va a dar distinto resultado de incógnitas que otro.

Cabe destacar, que este método tiene la capacidad de resolver desde sistemas de ecuaciones lineales hasta sistemas de ecuaciones no lineales, dependiendo del caso concreto. Unas veces será más sencillo utilizar un sistema u otro, todo depende de la estructura del sistema.

Por tanto, el método de reducción nos será de gran utilidad y es el más versátil de los tres sistemas mencionados, al menos en el campo de las matemáticas.

La mejor opción cuando nos encontramos ecuaciones de difícil despeje de incógnitas con valores en las constantes muy altos es el método de reducción.

Teniendo en cuenta un sistema de ecuaciones con incógnitas a y b, se expone el siguiente sistema:

En este sistema lineal para aplicar el método de reducción se restarían las ecuaciones, dando lugar a la siguiente expresión si restamos la primera con la segunda: a = 20.

Debemos tener en cuenta en la resta que 2a es iguala a + a. Luego si a + a se le resta la a de la segunda ecuación nos quedaría como resultado a. En el resto de la ecuación al restar b – b se eliminan entre sí y 30 menos 10 da como resultado 20. En definitiva, estas 3 operaciones dan como lugar la expresión final a = 20.

Por tanto, sabiendo que a = 20, podremos saber cuánto vale la incógnita b sustituyendo el valor de a en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema. En este caso utilizaremos la segunda:

Se puede comprobar el resultado de cada ecuación con los resultados obtenidos de a y b.

Ya expuesto de forma teórica el método de reducción, procedemos a mostrar un ejemplo paso a paso más elaborado con un sistema de ecuaciones más complejo:

1. El primer paso es operar entre la primera y la segunda ecuación. Pero como a priori no se encuentra una suma o resta que elimine alguna incógnita, debemos buscar un factor para estas ecuaciones y así, proceder a la resta:

Si sumamos las expresiones resultantes nos da como resultado: 33x – 3y = 96. O lo que es lo mismo: 11x – y = 32, ya que si la dividimos entre 3 nos da una expresión equivalente, igual de válida y más sencilla a la hora de operar. Como resultado hemos eliminado la incógnita z.

2. En segundo lugar, toca eliminar de nuevo la incógnita z de una ecuación más del sistema, en este caso se resta la tercera con la segunda utilizando un factor de -5 en la tercera ecuación para que la diferencia elimine, de nuevo, la incógnita z:

En este caso, restando las expresiones resultantes nos da como resultado: -36x + y = -107.

3. En tercer lugar, el paso a seguir es restar las expresiones conseguidas para eliminar una incógnita más y así, despejar una incógnita con valor numérico:

Con esta diferencia se elimina la incógnita y, y al fin podemos despejar x y averiguar su valor numérico: -25x = -75, por lo que x = 3.

4. El cuarto y último paso consistirá en averiguar el valor de y y z.

En caso de y hemos utilizado la segunda expresión del paso 3. Y en el caso de z, hemos escogido la tercera ecuación del sistema, aunque podría haber sido cualquiera.