Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

El máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (mcm) son dos valores que pueden calcularse a partir de los divisores de dos o más números.

Aunque ambos se calculan a partir de la misma información, el MCD y el mcm se interpretan de forma muy distinta.

Por un lado, el MCD es el mayor número por el cual se pueden dividir dos o más números. Esto, sin dejar ningún residuo.

En cambio, el mcm es la cifra más pequeña que satisface la condición de ser múltiplo de todos los elementos de un conjunto de números.

Cabe precisar que un número es múltiplo de otro cuando lo contiene n veces de forma exacta. Es decir, un número b es múltiplo de a cuando b=a*s, siendo s un número entero.

Para entender mejor la diferencia podemos utilizar un ejemplo con los siguientes números: 450, 765 y 135.

Primero, desagregamos cada cifra en divisores. Estos son aquellos números en los que está contenidos en otro de forma exacta una cantidad n de veces.

450= (3^2)*(5^2)*2

765= (3^2)*5*17

135= (3^3)*5

Entonces, para calcular el MCD tomaríamos los divisores comunes a su mínima potencia:

MCD= (3^2)*5= 45

Asimismo, par el mcm tomaríamos todos los divisores, incluso los que no se repiten, elevándolos a su máxima potencia:

mcm= (3^3)*(5^2)*2*17= 22.950

Relación entre MCD y mcm

Cuando se tienen dos números, se cumple la siguiente fórmula:

Es decir, para 4.368 y 308

4.368= (2^4)*13*7*3

308= (2^2)*11*7

Entonces, el mcm sería: (2^2)*7= 28

Por tanto, el MCD se podría despejar en la fórmula:

MCD= 4.368*308/28= 48.048

Algunas propiedades

Algunas propiedades a considerar también son:

• Si tenemos dos números primos (que solo pueden dividirse entre ellos mismos y uno para obtener un número entero) el mcm es el total de su multiplicación. Asimismo, su máximo común divisor es 1. Por ejemplo, si tenemos 11 y 103, su mcm es 1133 y su MCD es 1.
• El máximo común divisor de dos o más números es un divisor del mínimo común múltiplo de tales números. Esto es porque el cálculo se realiza en base a los mismo factores. Por ejemplo, si tenemos 132, 336 y 1.314

132= (2^2)*3*11

336= (2^4)*3*7

1.314= (3^2)*73*2

Entonces,

MCD= 3*2=6

mcm= (2^4)*(3^2)*7*11*73= 809.424

Y comprobamos que el mcm es múltiplo del MCD: 809.424/6= 134.904