Máximo común divisor y mínimo común múltiplo: Qué es y cómo calcularlos
- El mcm es el menor múltiplo común de un conjunto de números.
- Ambos conceptos se utilizan en matemáticas para simplificar fracciones.
- Calcular el MCD implica encontrar los divisores comunes más pequeños.
¿Qué es el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo?
El máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (mcm) son dos valores que se pueden calcular a partir de los divisores de dos o más números. Aunque ambos se calculan a partir de la misma información, el MCD y el mcm se interpretan de manera diferente.
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo: Explicación sencilla
El MCD es el mayor número por el cual se pueden dividir dos o más números sin dejar residuo. Por otro lado, el mcm es la cifra más pequeña que es múltiplo de todos los números del conjunto.
Un número es múltiplo de otro cuando lo contiene exactamente n veces. Por ejemplo, b es múltiplo de a cuando b=a*s, siendo s un número entero.
Para entender mejor, veamos un ejemplo con los números 450, 765 y 135.
Ejemplo
Primero, descomponemos cada número en sus divisores:
450 = (3^2) * (5^2) * 2
765 = (3^2) * 5 * 17
135 = (3^3) * 5
Para calcular el MCD, tomamos los divisores comunes a su mínima potencia:
MCD = (3^2) * 5 = 45
Para el mcm, tomamos todos los divisores, incluso los que no se repiten, elevándolos a su máxima potencia:
mcm = (3^3) * (5^2) * 2 * 17 = 22.950
Relación entre MCD y mcm
Cuando se tienen dos números, se cumple la siguiente fórmula:
Es decir, para 4.368 y 308
4.368= (2^4)*13*7*3
308= (2^2)*11*7
Entonces, el MCD sería: (2^2)*7= 28
Por tanto, el mcm se podría despejar en la fórmula:
mcm= 4.368*308/28= 48.048
Algunas propiedades
Algunas propiedades a considerar también son:
- Si tenemos dos números primos (que solo pueden dividirse entre ellos mismos y uno para obtener un número entero) el mcm es el total de su multiplicación. Asimismo, su máximo común divisor es 1. Por ejemplo, si tenemos 11 y 103, su mcm es 1133 y su MCD es 1.
- El máximo común divisor de dos o más números es un divisor del mínimo común múltiplo de tales números. Esto es porque el cálculo se realiza en base a los mismo factores. Por ejemplo, si tenemos 132, 336 y 1.314
132= (2^2)*3*11
336= (2^4)*3*7
1.314= (3^2)*73*2
Entonces,
MCD= 3*2=6
mcm= (2^4)*(3^2)*7*11*73= 809.424
Y comprobamos que el mcm es múltiplo del MCD: 809.424/6= 134.904
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¿Qué es el máximo común divisor (MCD)?: El MCD es el mayor número que puede dividir exactamente dos o más números.
¿Qué es el mínimo común múltiplo (mcm)?: El mcm es el menor número que es múltiplo de todos los números en un conjunto.
¿Cómo se calcula el MCD?: Se descomponen los números en factores primos y se toman los comunes más pequeños.
¿Cómo se calcula el mcm?: Se descomponen los números en factores primos y se toman todos los factores, en sus máximas potencias.
