La paradoja de San Petersburgo, para que lo entendamos correctamente, fue una paradoja descrita por Nicolaus Bernoulli, tras observar los juegos de apuestas, razón por la que existe esta paradoja.

En este sentido, la paradoja nos dice que la teoría de las decisiones formulada nos muestra que la decisión racional, en un juego de apuestas, son todas, indistintamente de la cuantía que supone cada apuesta. Sin embargo, analizando correctamente esta situación, y atendiendo a la teoría precisamente, observamos que ningún ser racional optaría por tomar la decisión de apostar una cantidad de dinero cercana al infinito, aunque la teoría indique eso es racional. Por esta razón, surge la paradoja.

Inicialmente, la paradoja la observa Nicolaus Bernoulli, pues aparece en una carta enviada por este a Pierre de Montmort, aristócrata y matemático francés, el 9 de septiembre de 1713. 

Sin embargo, debido a que el estudio de Nicolaus no obtuvo resultados, este presentó la paradoja a su primo Daniel Bernoulli en 1715, matemático de origen holandés y rector de la universidad de Basilea, quien, encontrándose en San Petersburgo junto a un destacado grupo de científicos, y tras años de investigación, publica en 1738 un nuevo sistema de medición en su obra “Exposición de una nueva teoría en la medición del riesgo».

El modelo propuesto por Daniel, a diferencia del propuesto por Nicolaus, sienta las bases de lo que, posteriormente, perfeccionaría y completaría la teoría de la utilidad esperada.

La formulación que plantea Nicolaus Bernoulli a su primo y a Pierre de Montmort es la siguiente:

Imaginemos un juego de apuestas, en el que el jugador, como es obvio, debe pagar una cuantía para participar.

Supongamos que el jugador apuesta a que sale cruz, y lanza la moneda sucesivamente hasta que sale cruz. Una vez ha salido cruz, el juego se detiene y el jugador obtiene 2^n dólares.

Así, si sale cruz, el jugador gana, en primer lugar, 2^1, que son 2 dólares. Pero si sale cruz otra vez, este obtendrá 2^2, que son 4 dólares, y así sucesivamente. Si sale otra vez, será 8 dólares, que es el equivalente a 2^3; mientras que, si sale una cuarta vez, el premio serán 16 dólares, al ser la representación 2^4.

Así, la pregunta de Nicolaus era la siguiente: Teniendo en cuenta la secuencia citada anteriormente y el beneficio, ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar el jugador por este juego sin perder la racionalidad?

Atendiendo a la formulación propuesta por Nicolaus, y la duda que este planteaba al matemático francés y a su primo, veamos el porqué de esta paradoja, a modo de ejemplo, para entender a lo que nos referimos.

Antes de nada, debemos saber que, antes de que se inicie el juego, tenemos un número infinito de posibles resultados. Pues, aunque la probabilidad sea de 1/2, la cruz puede no salir hasta la 8ª tirada.

Por tanto, la probabilidad de que dicha cruz aparezca en el lanzamiento k es:

Pk= 1/2k

Asimismo, la ganancia es 2k.

Continuando con el desarrollo, que salga por primera vez cruz en la 1ª tirada presenta una ganancia de 2¹ (2 dólares) y una probabilidad de 1/2. Que salga cruz en el 2º intento tiene una ganancia de 2² (4 dólares) y una probabilidad de 1/2²; mientras que, si sale cruz en el tercer intento, el jugador tiene una ganancia de 2³ (8 dólares) y una probabilidad de 1/2³. Como vemos, una relación que se extiende, en tanto en cuanto vamos añadiendo tiradas.

Antes de seguir, conviene resaltar que en la teoría de la decisión llamamos esperanza matemática (EM), o ganancia esperada de un juego, a la suma de los premios, asociados a cada uno de los posibles resultados del juego, y todos ellos ponderados por la probabilidad de que se produzca cada uno de estos resultados.

Si tenemos en cuenta el planteamiento que muestra esta paradoja, vemos que al jugar la probabilidad de ganar 2 dólares es de 1/2, pero, además, la probabilidad de ganar 4 es 1/4, mientras que la de ganar 8 dólares es de 1/8. Ello, hasta llegar a situaciones como la de ganar 64 dólares, siendo la probabilidad para este caso de 1/64.

Así, con estos resultados, si calculamos la esperanza matemática, o lo que conocemos como ganancia esperada del juego, debemos sumar las ganancias de todos los resultados posibles ponderados por la probabilidad de que se produzcan, por lo que el resultado nos muestra un valor infinito.

Si seguimos la teoría de la elección, esta nos dice que deberíamos apostar cualquier importe por el simple hecho de que toda decisión nos es favorable. Ahora bien, el hecho de que sea una paradoja es porque, racionalmente, un jugador no apostará indefinidamente, aunque la teoría le empuje a hacerlo.

Muchos han sido los matemáticos que han tratado de descifrar la paradoja propuesta por Bernoulli, sin embargo, también son muchos los que no han podido resolverla.

Así, existen numerosos ejemplos que nos muestran cómo la paradoja ha intentado resolverse por parte de matemáticos que han abordado tanto la estructura del juego como las propias decisiones de los individuos. Sin embargo, hasta la fecha seguimos sin encontrar una solución válida.

Y es que, para que nos hagamos una idea de la complejidad de esta paradoja, atendiendo a la teoría de la elección en este ejemplo, asumimos como posible premio, tras el cálculo, un número infinito de monedas que, incluso atendiendo a que ello fuera posible, sería incompatible con el propio sistema monetario, al tratarse de un dinero que, a diferencia de lo que dice la paradoja, es limitado.