Programación no lineal

La programación no lineal es, entonces, un proceso donde la función a maximizar, o cualquiera de las restricciones, es distinta a una ecuación de primer grado o lineal, donde las variables están elevadas a la potencia 1.

Debemos recordar que una ecuación lineal es una igualdad matemática que puede tener una o más incógnitas. Así, tiene la siguiente forma básica, donde a y b son las constantes, mientras que x e y son las variables:

ax+b=y

Cabe añadir que no todos los elementos que integra este tipo de programación cumplirán con dicha característica. Por ejemplo, puede ser que la función objetivo sea una ecuación de segundo grado y una de las variables esté elevada al cuadrado, cumpliendo la siguiente forma:

y=ax²+bx+c

Ahora, mediante la programación no lineal, se podría optimizar esta función, hallando el máximo o el mínimo valor de y. Esto, tomando en cuenta que x está sujeta a ciertas restricciones.

Los principales elementos de la programación no lineal son los siguientes:

• Función objetivo: Es aquella función que se optimiza, ya sea maximizando o minimizando su resultado.
• Restricciones: Son aquellas condiciones que deben cumplirse al optimizar la función objetivo. Puede tratarse de ecuaciones o inecuaciones algebraicas.

Veamos, para acabar, un ejercicio de programación no lineal.

Supongamos que tenemos la siguiente función:

y=25+10x-x²

Asimismo, tenemos la siguiente restricción:

y=50-3x

Como podemos observar en el gráfico, la función objetivo y la restricción se intersecan en dos puntos, pero donde se maximiza y es cuando x=2,3, siendo y=43 (los decimales son aproximados).

Los puntos de corte se pueden hallar igualando ambas ecuaciones:

25+10x-x²=50-3x

0=x²-13x+25

Luego, la ecuación de segundo grado de arriba tiene dos soluciones o raíces que pueden hallarse con las siguientes fórmulas, donde a=1, b=-13 y c=25.

Así, hallamos que x1=2,3467 (y=43) y x2=10,653 (y=18).

Debemos advertir que este tipo de programación es más compleja que la lineal, y no existen tantas herramientas disponibles online para resolver este tipo de optimizaciones. El ejemplo mostrado es un caso muy simplificado.