La serie de Taylor es una serie de potencias que se prolonga hasta el infinito, donde cada uno de los sumandos está elevado a una potencia mayor al antecedente.
Cada elemento de la serie de Taylor corresponde a la enésima derivada de la función f evaluada en el punto a, entre el factorial de n(n!),y todo ello, multiplicado por x-a elevado a la potencia n.
En términos formales o matemáticos, la serie de Taylor tiene la siguiente forma:
Para entender mejor la serie de Taylor, debemos tener en cuenta que a es un punto de una recta tangente a la función f. Dicha recta puede, a su vez, expresarse como una función lineal que tiene como pendiente la misma pendiente de la función f en el punto a.
Otro aspecto a tener en cuenta es que f es una función derivable n veces en el punto a. Si n es el infinito, se trata de una función infinitamente diferenciable.
En un caso particular, cuando a=0, la serie también es llamada serie de McLaurin.
Diferencia entre serie y polinomio de Taylor
La diferencia entre serie y polinomio de Taylor es que, en el primer caso, hablamos de una secuencia infinita, mientras que en el segundo se trata de una serie finita.
Así, el polinomio de Taylor se puede definir como una aproximación polinómica de una función n veces derivable en un punto específico (a).
Ejemplos de series de Taylor
Algunos ejemplos de variaciones de series de Taylor son:
- Función exponencial:
- Funciones trigonométricas:
Aplicaciones de la serie de Taylor
Algunas aplicaciones de la serie de Taylor son:
- Análisis de límites.
- Análisis de puntos estacionarios o puntos sillas en funciones.
- Aplicación en el teorema de L’Hopital (para resolver límites).
- Estimación de integrales.
- Estimación de convergencias y divergencias de determinadas series.
- Análisis de activos y productos financieros, cuando el precio se expresa como una función no lineal.
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