Polinomio de Taylor

El polinomio de Taylor es una aproximación polinómica de una función n veces derivable en un punto concreto.

En otras palabras, el polinomio de Taylor es una suma finita de derivadas locales evaluadas en un punto concreto. 

Matemáticamente

Definimos: 

f(x): función de x. 

f(x₀): función de x en un punto concreto x₀. Formalmente se escribe:

f⁽ⁿ⁾(x): n-ésima derivada de la función f(x).

Aplicaciones

La expansión de Taylor generalmente se aplica en activos y productos financieros en los que el precio se expresa como una función no lineal.

Por ejemplo, el precio de un título de deuda a corto plazo es una función no lineal que depende de los tipos de interés. Otro ejemplo serían las opciones, donde tanto los factores de riesgo como la rentabilidad son funciones no lineales. El cálculo de la duración de un bono es un polinomio de Taylor de primer grado. 

Ejemplo polinomio de Taylor

Queremos buscar el segundo orden de la aproximación de Taylor de la función f(x) en un punto x₀=1.

1. Hacemos las derivadas pertinentes de la función f(x).

En este caso nos piden hasta el segundo orden, entonces, haremos la primera y segunda derivada de la función f(x):

• Primera derivada:

• Segunda derivada:

2. Sustituimos x₀=1 en f(x), f’(x) y f’’(x):

3. Una vez tenemos el valor de las derivadas en el punto x₀=1, lo sustituimos en la aproximación de Taylor:

Arreglamos un poco el polinomio:

Comprobación de valores

La aproximación de Taylor será adecuada cuanto más cerca de x₀ estén los valores. Para comprobarlo, sustituimos valores próximos a x₀ tanto en la función original como en la aproximación de Taylor anterior:

Cuando x₀=1

Función original:

Aproximación de Taylor:

Cuando x₀=1,05

Función original:

Aproximación de Taylor:

Cuando x₀=1,10

Función original:

Aproximación de Taylor:

En el primer caso cuando x₀=1, vemos que tanto la función original como la aproximación de Taylor nos dan el mismo resultado. Esto se debe a la composición del polinomio de Taylor que hemos creado mediante las derivadas locales. Estas derivadas se han evaluado en un punto concreto, x₀=1, para poder obtener un valor y crear el polinomio. Entonces, cuanto más alejado de ese punto concreto, x₀=1, menos apropiada será la aproximación para la función no lineal original. En los casos donde x₀=1,05 y x₀=1,10 hay una diferencia significativa entre el resultado de la función original y la aproximación de Taylor. 

Pero… ¿La diferencia es muy pequeña no? 

Representación polinomio de Taylor

Si ampliamos los extremos (donde la aproximación se aleja de x₀=1):

A simple vista nos puede parecer insignificante pero cuando estamos trabajando sobre la gráfica y haciendo aproximaciones es muy importante tener en cuenta como mínimo los cuatro primeros decimales. La base de las aproximaciones es la precisión.