El polinomio de Taylor es una aproximación polinómica de una función n veces derivable en un punto concreto.
En otras palabras, el polinomio de Taylor es una suma finita de derivadas locales evaluadas en un punto concreto.
Matemáticamente
Definimos:
f(x): función de x.
f(x0): función de xen un punto concreto x0. Formalmente se escribe:
f(n)(x): n-ésima derivada de la función f(x).
Aplicaciones
La expansión de Taylor generalmente se aplica en activos y productos financieros los cuales su precio se expresa como una función no lineal. Por ejemplo, el precio de un título de deuda a corto plazo es una función no lineal que depende de los tipos de interés. Otro ejemplo serían las opciones, donde tanto los factores de riesgo como la rentabilidad son funciones no lineales. El cálculo de la duración de un bono es un polinomio de Taylor de primer grado.
Ejemplo polinomio de Taylor
Queremos buscar el segundo orden de la aproximación de Taylor de la función f(x) en un punto x0=1.
1. Hacemos las derivadas pertinentes de la función f(x).
En este caso nos piden hasta el segundo orden, entonces, haremos la primera y segunda derivada de la función f(x):
- Primera derivada:
- Segunda derivada:
2. Sustituimos x0=1 en f(x), f’(x) y f’’(x):
3. Una vez tenemos el valor de las derivadas en el punto x0=1, lo sustituimos en la aproximación de Taylor:
Arreglamos un poco el polinomio:
Comprobación de valores
La aproximación de Taylor será adecuada cuanto más cerca de x0 estén los valores. Para comprobarlo, sustituimos valores próximos a x0 tanto en la función original como en la aproximación de Taylor anterior:
Cuando x0=1
Función original:
Aproximación de Taylor:
Cuando x0=1,05
Función original:
Aproximación de Taylor:
Cuando x0=1,10
Función original:
Aproximación de Taylor:
En el primer caso cuando x0=1, vemos que tanto la función original como la aproximación de Taylor nos dan el mismo resultado. Esto se debe a la composición del polinomio de Taylor que hemos creado mediante las derivadas locales. Estas derivadas se han evaluado en un punto concreto, x0=1, para poder obtener un valor y crear el polinomio. Entonces, cuanto más alejado de ese punto concreto, x0=1, menos apropiada será la aproximación para la función no lineal original. En los casos donde x0=1,05 y x0=1,10 hay una diferencia significativa entre el resultado de la función original y la aproximación de Taylor.
Pero… ¿La diferencia es muy pequeña no?
Representación polinomio de Taylor
Si ampliamos los extremos (donde la aproximación se aleja de x0=1):
A simple vista nos puede parecer insignificante pero cuando estamos trabajando sobre la gráfica y haciendo aproximaciones es muy importante tener en cuenta como mínimo los cuatro primeros decimales. La base de las aproximaciones es la precisión.
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