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Polinomio de Taylor

Paula Rodó
3 min
Referenciar

El polinomio de Taylor es una aproximación polinómica de una función n veces derivable en un punto concreto.

En otras palabras, el polinomio de Taylor es una suma finita de derivadas locales evaluadas en un punto concreto. 

Matemáticamente

Polinomio De Taylor Editado

Definimos: 

f(x): función de x. 

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f(x0): función de x en un punto concreto x0. Formalmente se escribe:

Funcion De X

f(n)(x): n-ésima derivada de la función f(x).

Aplicaciones

La expansión de Taylor generalmente se aplica en activos y productos financieros en los que el precio se expresa como una función no lineal.

Por ejemplo, el precio de un título de deuda a corto plazo es una función no lineal que depende de los tipos de interés. Otro ejemplo serían las opciones, donde tanto los factores de riesgo como la rentabilidad son funciones no lineales. El cálculo de la duración de un bono es un polinomio de Taylor de primer grado. 

Ejemplo polinomio de Taylor

Queremos buscar el segundo orden de la aproximación de Taylor de la función f(x) en un punto x0=1.

Polimonio De Taylor X0 1

1. Hacemos las derivadas pertinentes de la función f(x).

En este caso nos piden hasta el segundo orden, entonces, haremos la primera y segunda derivada de la función f(x):

  • Primera derivada:
Primera Derivada Polinomio De Taylor
  • Segunda derivada:
Segunda Derivada Polinomio De Taylor

2. Sustituimos x0=1 en f(x), f’(x) y f’’(x):

Paso 2 Polinomio De Taylor

3. Una vez tenemos el valor de las derivadas en el punto x0=1, lo sustituimos en la aproximación de Taylor:

Aproximacion De Taylor Editado

Arreglamos un poco el polinomio:

Arreglamos Polinomio De Taylor

Comprobación de valores

La aproximación de Taylor será adecuada cuanto más cerca de x0 estén los valores. Para comprobarlo, sustituimos valores próximos a x0 tanto en la función original como en la aproximación de Taylor anterior:

Cuando x0=1

Función original:

Función Original 1

Aproximación de Taylor:

Aproximación De Taylor 1

Cuando x0=1,05

Función original:

Función Original 2

Aproximación de Taylor:

Aproximación De Taylor 2

Cuando x0=1,10

Función original:

Función Original 3

Aproximación de Taylor:

Aproximación De Taylor 3

En el primer caso cuando x0=1, vemos que tanto la función original como la aproximación de Taylor nos dan el mismo resultado. Esto se debe a la composición del polinomio de Taylor que hemos creado mediante las derivadas locales. Estas derivadas se han evaluado en un punto concreto, x0=1, para poder obtener un valor y crear el polinomio. Entonces, cuanto más alejado de ese punto concreto, x0=1, menos apropiada será la aproximación para la función no lineal original. En los casos donde x0=1,05 y x0=1,10 hay una diferencia significativa entre el resultado de la función original y la aproximación de Taylor. 

Pero… ¿La diferencia es muy pequeña no? 

Representación polinomio de Taylor

Gráfico Polinomio De Taylor

Si ampliamos los extremos (donde la aproximación se aleja de x0=1):

Gráfico Polinomio De Taylor 2

A simple vista nos puede parecer insignificante pero cuando estamos trabajando sobre la gráfica y haciendo aproximaciones es muy importante tener en cuenta como mínimo los cuatro primeros decimales. La base de las aproximaciones es la precisión.  

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Paula Rodó, 23 de enero, 2020
Polinomio de Taylor. Economipedia.com

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    Comentarios

    1. Julio

      10 de julio de 2021 a las 21:13

      Gracias. Ilustrativo y didáctico. Entiendo q la serie de Taylor se aplica en muestreo en un estimador llamado Razón. Por favor, desearía ver alguna demostración sobre este tópico. Gracias

      Accede para responder

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