Variable aleatoria

Una variable aleatoria es la función matemática de un experimento aleatorio.

A priori, la definición de variable aleatoria no reviste mucha complejidad. Se trata de un concepto que se puede definir en una frase. Sin embargo, es más complejo de lo que las apariencias puedan indicar.

Ahora bien, en economipedia, como siempre hacemos, lo explicaremos de una manera francamente sencilla. Así pues, iremos por partes. ¿De qué partes se compone la frase?

¿Qué es una variable aleatoria?

Cómo podemos comprobar la frase se compone básicamente de dos conceptos: función matemática y experimento aleatorio. De manera que por aquí es por dónde debemos empezar. Es decir, por entender primero qué es una función matemática y, más tarde, por definir qué entendemos por experimento aleatorio.

Función matemática: Dicho de manera sencilla, es una ecuación que asigna valores a una variable (variable dependiente) en función de otras variables (variables independientes).
Experimento aleatorio: Es un fenómeno de la vida real cuyos resultados se deben completamente al azar. Es decir, bajo las mismas condiciones iniciales arroja resultados diferentes.

En otras palabras, es una ecuación que describe o intenta describir los resultados (con un número) de un evento cuyos resultados se deben al azar.

¿Qué sentido tiene diferenciar variable aleatoria de experimento aleatorio?

Pensemos en el siguiente caso. Queremos estudiar si una moneda es perfecta o se aproxima mucho a serlo. Para ello, vamos a realizar un experimento aleatorio que consiste en lanzar la moneda al aire y apuntar el resultado.

Los posibles resultados del lanzamiento de la moneda son cara y cruz. Podemos denotarlos como c (cara) y + (cruz). Ahora bien, no podemos operar sustituyendo cara y cruz en las funciones correspondientes. ¿Qué hacemos para facilitar el procedimiento matemático? Asignar números:

Varaible aleatoria X: 1 si sale cara y 0 si sale cruz.

Al asignarle un número, podemos operar matemáticamente. Antes con signos, no podíamos. Ese es el verdadero objetivo de una variable aleatoria. Convertir eventos con los que no podemos operar matemáticamente en números. Otro ejemplo, podría ser predecir si llueve o no llueve. Si llueve 1 y si no llueve 0.

Variable aleatoria y distribución de probabilidad

La relación entre variable aleatoria y distribución de probabilidad es muy estrecha. De hecho, una distribución de probabilidad es en realidad la función de una variable aleatoria. Es decir, es función de una función. Así pues tenemos dos conceptos relacionados pero diferentes:

Variable aleatoria: Es una función de un experimento aleatorio.
Distribución de probabilidad: Es una función que establece cómo se distribuye la probabilidad de una variable aleatoria.

Tipos de variable aleatoria

Dentro de las variables aleatorias existen, fundamentalmente, dos tipos. Su clasificación, depende del tipo de número que arroja la función matemática. Una variable aleatoria puede ser de dos tipos:

Variable aleatoria discreta: Una variable aleatoria es discreta si los números a los que da lugar son números enteros. La forma de calcular las probabilidades de una variable aleatoria discreta es a través de la función de probabilidad.
Variable aleatoria continua: Una variable aleatoria es continua en caso de que los números a los que de lugar no sean números enteros. Es decir, tengan decimales. La probabilidad de que se de un suceso determinado correspondiente a una variable aleatoria continua, viene establecido por la función de densidad.

Ejemplo de variable aleatoria

Una variable aleatoria bien podría ser la función de los resultados del lanzamiento de un dado. Es importante diferenciar aquí tres conceptos.

Dado: No es la variable aleatoria. El dado es simplemente un objeto.
Lanzamiento de un dado: No es la variable aleatoria. El lanzamiento de un dado es el experimento aleatorio.
Resultados del lanzamiento de un dado: Sí es la variable aleatoria. Es la función que recoge los resultados del lanzamiento del dado. Un ejemplo de variable aleatoria podría ser: Que salga un número mayor que 2 al lanzar el dado.

X: Que salga mayor que 2 al lanzar el dado

Distribución de probabilidad: 1/3 no sale mayor que 2 y 2/3 si sale mayor que 2.

Es decir, la probabilidad se distribuye tal que la probabilidad de que salga un numero menor o igual que 2 es de 1/3. Mientras, la probabilidad de que salga mayor que 2 es 2/3

Por tanto, nuestra variable aleatoria dependerá del resultado concreto del valor del dado. El tipo de variable al que estamos haciendo referencia es discreta. ¿Por qué lo sabemos? Porque cuando tiramos un dado solo podemos obtener 6 posibles resultados. Todos ellos, son números enteros. Concretamente, entre 1 y 6.