Derivada de una resta: Qué es y cómo se aplica

¿Qué es la derivada de una resta?

La derivada de una resta es una propiedad fundamental en cálculo que describe cómo se comporta la derivada al restar una función de otra.

Básicamente, indica que, si tienes dos funciones, la derivada de su diferencia se obtiene restando las derivadas de cada una de estas funciones de forma independiente.

Matemáticamente, si tenemos dos funciones f(x) y g(x), la derivada de su resta se expresa de la siguiente manera:

Aquí, f'(x) representa la derivada de la función f (x) y g'(x) la derivada de la función g (x).

Derivada de una resta: Explicación sencilla

Dicho de otra manera, la derivada de una resta sirve para estudiar cómo cambia la diferencia entre dos funciones o valores.

Nos puede ayudar a entender, por ejemplo, cómo evoluciona la diferencia entre el valor de dos activos financieros o cómo varía el margen de ganancia de dos empresas en el tiempo.

Imagina que estás analizando las ganancias de dos empresas, digamos la Empresa A y la Empresa B. Las ganancias de la Empresa A están representadas por la función f(x) y las ganancias de la Empresa B por g(x) .

Si quieres entender cómo varía la diferencia en las ganancias entre ambas empresas, utilizarías la derivada de la resta de ambas funciones.

Por ejemplo, si en un mes determinado la Empresa A tuvo ganancias de f(2) = 5000 y la Empresa B g(2) = 3000 , la diferencia en ganancias es f(2) – g(2) = 2000. Ahora, al analizar cómo cambia esta diferencia a lo largo del tiempo, es crucial calcular la derivada.

Supongamos que la derivada de las ganancias de la Empresa A es f'(x) = 1000, es decir, sus ganancias aumentan en 1000 unidades por cada unidad de tiempo, y la derivada de la Empresa B es g'(x) = 500 (aumentan en 500 unidades por cada unidad de tiempo).

Entonces, al aplicar la regla de la derivada de una resta, obtenemos:

Esto significa que la diferencia en las ganancias entre ambas empresas está aumentando a un ritmo de 500 unidades por cada unidad de tiempo.

Ejemplos

Para ilustrar mejor este concepto, veamos un par de ejemplos prácticos:

Ejemplo 1: Funciones lineales
Supongamos que f(x)=3x+2 y g(x)=2x+1g(x) = 2x + 1g(x)=2x+1.

1. Calculamos las derivadas:

• f′(x) = 3

• g'(x) = 2

2. Aplicamos la regla de la derivada de una resta:

Esto nos indica que la tasa de cambio de la diferencia entre ambas funciones es constante y igual a 1.

**Ejemplo 2: Funciones cuadráticas**
Consideremos las funciones f(x) = x^2 + 4x y g(x) = x^2 .

1. Derivamos ambas funciones:

• f'(x) = 2x + 4
• g'(x) = 2x

2. Aplicamos la regla:

Esto muestra que, independientemente del valor de \( x \), la diferencia en las tasas de cambio de ambas funciones es siempre 4.

Ventajas de comprender la derivada de una resta

1. Facilita el análisis de cambios: Entender cómo varían las diferencias entre funciones es esencial en campos como la economía, donde se comparan ingresos, costos y otros indicadores.

2. Simplifica el cálculo: Al aplicar la regla de la derivada de una resta, se puede resolver problemas complejos de manera más sencilla, evitando cálculos innecesarios.

3. Aplica a múltiples contextos: Este principio no solo se aplica a funciones económicas, sino también a problemas en física, biología y otras ciencias donde se analizan tasas de cambio.

Desventajas

1. Limitaciones en funciones no derivables: No todas las funciones son derivables en todos los puntos, lo que podría complicar el análisis en ciertos casos.

2. Requiere comprensión previa: Para aplicar correctamente la regla, es necesario tener una base en cálculo y derivadas, lo que puede ser un obstáculo para aquellos que recién comienzan a aprender.

Entender la derivada de una resta es fundamental para el análisis de funciones y sus cambios en diversas aplicaciones. Esta regla, aunque sencilla, proporciona una herramienta poderosa para desglosar y entender la dinámica entre diferentes variables.