Análisis de Fourier: definición matemática y series

¿Qué es el análisis de Fourier?

El análisis de Fourier es una herramienta matemática que permite representar una función periódica como la sumatoria infinita de senos y cosenos.

Es decir, según el análisis de Fourier, se puede expresar una función periódica como la suma infinita de dos funciones trigonométricas, seno y coseno, eligiendo los argumentos adecuados para cada una de ellas.

Una función periódica es aquella que se comporta de forma secuencial, es decir, donde se repite un ciclo de manera constante. A ese ciclo que se repite se le llama periodo.

Análisis de Fourier: explicación sencilla

Para verlo de forma gráfica, piensa en una serie de ondas que se repiten una tras otra, como la frecuencia de un monitor cardíaco. Ese comportamiento es un movimiento ondulatorio.

El análisis de Fourier aprovecha ese comportamiento: si una función se repite en ciclos, se puede reconstruir sumando ondas simples (senos y cosenos) hasta aproximarse a ella con la precisión que se quiera. Cuantas más ondas se sumen, más exacta es la aproximación.

Para entender bien esta idea conviene recordar los componentes de una onda:

• Amplitud (A): es la altura máxima de la onda.
• Longitud (λ): es la distancia entre dos puntos máximos de una onda.
• Ciclo: es el recorrido desde el inicio de una vibración hasta que se vuelve al punto inicial.
• Periodo (T): es el tiempo en el que se completa una oscilación o ciclo.
• Frecuencia (f): es el número de oscilaciones o ciclos por segundo o unidad de tiempo. Se relaciona con el periodo así: f=1/T.

Con estos conceptos claros resulta más sencillo entender la composición del análisis de Fourier, que se aplica siempre a funciones periódicas, es decir, a ciclos que se repiten.

Serie del análisis de Fourier

La serie que plantea el análisis de Fourier es la siguiente:

Para entender esta serie de forma intuitiva, hay que saber que p(t) es una función periódica donde t es la variable independiente.

Dentro de la sumatoria, el argumento de las funciones seno y coseno está formado por 2π·(1/T)t, donde (1/T), como vimos al hablar de los componentes de una onda, es la frecuencia.

Por lo tanto, si el argumento del seno o el coseno fuera 2π·4t, la frecuencia sería 4. Y, por tanto, el periodo, que es lo inverso de la frecuencia (f=1/T), sería igual a 1/4.

De ahí se puede interpretar que cada ciclo que se repite tiene una duración de 1/4 (por ejemplo, 1/4 de hora).

Desde el punto de vista matemático, se deduce que los argumentos del seno y del coseno son múltiplos de la frecuencia de la función periódica. Además, a_n y b_n son los coeficientes de Fourier y, junto con a_o, son constantes.

Lo que se busca con la serie de Fourier es que, sumando esas ondas (las sumatorias de senos y cosenos), el resultado se aproxime a la función que se observa en la imagen anterior, formada por los segmentos rectos azules.

Lo que acabas de leer es una definición intuitiva del análisis y la serie de Fourier. La demostración matemática completa es mucho más compleja: esta explicación busca animarte a seguir investigando sobre el tema.