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Convexidad de un bono

Redactado por: José Francisco López
Revisado por: José Francisco López
Actualizado el 1 marzo 2020

Tabla de contenidos

  • Definición técnica
  • Relación convexidad de un bono y duración de un bono
  • Ejemplo de convexidad de un bono

La convexidad de un bono es la pendiente de la curva que relaciona precio y rentabilidad. Mide el cambio en la duración del bono como resultado de un cambio en la rentabilidad.

Matemáticamente se expresa como la segunda derivada de la curva precio-rentabilidad. La fórmula queda como sigue:

La variación del precio de un bono ante cambios en los tipos de interés es la suma de la variación motivada por la duración modificada y la variación motivada por la convexidad del bono.

Si la convexidad de un bono es igual a 100, el precio del bono variará un 1% extra cada 1% de variación de los tipos de interés, además de la calculada por la duración. Si la convexidad de un bono es igual a cero, el precio del bono variará ante cambios en los tipos de interés la cantidad motivada por la duración del bono.

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Relación convexidad de un bono y duración de un bono

La convexidad de un bono nos ofrece una medida mucho más exacta de los cambios precio-rentabilidad de un bono. La duración de un bono asume que la relación entre precio y rentabilidad es constante. Sin embargo, la realidad es bien distinta. De ahí que, ante variaciones pequeñas precio-rentabilidad la duración sea una medida aceptable. Pero para variaciones más grandes se torne imprescindible el cálculo de la convexidad.

Matemáticamente puede parecer un término un poco abstracto. Dado que gráficamente es mucho más fácil de entender, vamos a verlo representado. En los siguiente dos gráficos vemos representados tanto la duración como la convexidad.

A menor rentabilidad del bono, mayor será su precio. Y al revés, a mayor rentabilidad del bono menor será su precio. Claro que, el precio no cambia en la misma proporción si su rentabilidad cambia del 10 al 12% que si cambia del 1 al 2%. Esto es lo que tiene en cuenta la convexidad. La duración asume que el cambio en el precio es el mismo siempre. Mientras la convexidad tiene en cuenta que el cambio en el precio no es constante. La diferencia entre la línea azul y la naranja es la convexidad propiamente dicha. La línea naranja es el cambio en el precio del bono teniendo en cuenta la duración. Por último, la línea azul representa los cambios en el precio del bono teniendo en cuenta duración y convexidad.

Ejemplo de convexidad de un bono

Tenemos un bono con vencimiento a 10 años. El cupón es del 7% y el bono tiene valor nominal de 100 euros . La TIR del mercado es del 5%. Lo cual quiere decir que bonos de similares características están ofreciendo un 5% de rentabilidad. O lo que es lo mismo un 2% menos. El pago de cupones es anual.

¿Si la rentabilidad del bono pasa del 7% al 5% cuánto varía el precio del bono? Para calcular la variación que tendría el precio ante un cambio en el tipo de interés necesitaremos las siguientes fórmulas:

Cálculo del precio del bono:

Cálculo de la duración del bono:

Cálculo de la duración modificada:

Cálculo de la convexidad:

Cálculo de la variación de la duración:

Cálculo de la variación de la convexidad:

Cálculo de la variación del precio del bono:

Descargar tabla excel para ver todos los cálculos detallados

Utilizando las fórmulas arriba mencionadas obtenemos los siguientes datos:

Precio del bono =115,44

Duración = 7,71

Duración Modificada  = 7,34

Convexidad = 69,73

La variación del precio ante una caída de la rentabilidad del bono del 2% es del +14,68% teniendo en cuenta la duración. La variación del precio del bono teniendo en cuenta la convexidad es del +1,39%. Para obtener la variación total del precio hemos de sumar las dos variaciones. El cálculo arroja que ante una caída del 2% en este bono, aumentaría el precio en un 16,07%.

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José Francisco López, 12 de noviembre, 2017
Convexidad de un bono. Economipedia.com

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    9 Comentarios
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    Ver comentarios
    Juan José
    Juan José
    17 de septiembre de 2019 17:20

    Excelente

    Responde
    Miguel Angel Ayala S
    Miguel Angel Ayala S
    18 de septiembre de 2019 19:17
    Responder a  Juan José

    Buenas tardes. Hubo un olvido en la aplicación de la fórmula de Precio del Bono. ustedes no incluyeron el valor de A y entonces el precio verdadero es: €176,835. Favor incluir. Si estoy errado me lo comunican a mi correo
    Gracias

    Responde
    José Francisco López
    Miembro
    José Francisco López
    19 de septiembre de 2019 16:57
    Responder a  Miguel Angel Ayala S

    Hola Miguel Ángel,

    Hemos revisado el cálculo y nos parece que es correcto. Tienes disponible una tabla excel para descargar en la que se especifican todos los datos. A está incluida en la casilla F23 y F24 (están combinadas) y se incluye como una constante. El precio es igual a 100.

    Saludos y gracias por comentar, cualquier cuestión no dudes en preguntar.

    Responde
    Alex
    Alex
    23 de junio de 2020 09:03
    Responder a  Miguel Angel Ayala S

    Estas Correctos, de donde sacas el 176.

    Responde
    Manolo
    Manolo
    20 de junio de 2020 00:49

    Excelente post! Justo lo que necesitaba para aplicarlo en el trabajo.

    Responde
    Elizabeth carrillo
    Elizabeth carrillo
    2 de abril de 2021 22:43

    cual es el Excel que dices que se puede descargar para ver detalladamente los resultados, ya que no me aparece ningún Excel

    Responde
    Guillermo Westreicher
    Guillermo Westreicher
    15 de febrero de 2022 19:41
    Responder a  Elizabeth carrillo

    Hola,

    Si haces click en "Descargar tabla excel para ver todos los cálculos detallados", deberías poder descargar el archivo.

    Saludos

    Responde
    Jeniffer Bonilla
    Jeniffer Bonilla
    12 de octubre de 2021 23:11

    Buenas tardes
    De la teoría se indica que la variación en el precio se relaciona con la variación en la TIR. En el ejercicio indica "¿Si la rentabilidad del bono pasa del 7% al 5% cuánto varía el precio del bono?". Pero en el ejercicio la TIR es del 5% no del 7%. Me podría aclarar

    Responde
    José Francisco López
    Miembro
    José Francisco López
    7 de febrero de 2022 09:23
    Responder a  Jeniffer Bonilla

    Hola Jennifer,

    Fíjate que dice la TIR del mercado. Cuando decimos la TIR del mercado, nos referimos a la media de los bonos del mercado, no al cupón de nuestro bono en concreto.

    Espero haberte ayudado 🙂

    Responde

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