Convexidad de un bono

Matemáticamente se expresa como la segunda derivada de la curva precio-rentabilidad. La fórmula queda como sigue:

La variación del precio de un bono ante cambios en los tipos de interés es la suma de la variación motivada por la duración modificada y la variación motivada por la convexidad del bono.

Si la convexidad de un bono es igual a 100, el precio del bono variará un 1% extra cada 1% de variación de los tipos de interés, además de la calculada por la duración. Si la convexidad de un bono es igual a cero, el precio del bono variará ante cambios en los tipos de interés la cantidad motivada por la duración del bono.

La convexidad de un bono nos ofrece una medida mucho más exacta de los cambios precio-rentabilidad de un bono. La duración de un bono asume que la relación entre precio y rentabilidad es constante. Sin embargo, la realidad es bien distinta. De ahí que, ante variaciones pequeñas precio-rentabilidad la duración sea una medida aceptable. Pero para variaciones más grandes se torne imprescindible el cálculo de la convexidad.

Matemáticamente puede parecer un término un poco abstracto. Dado que gráficamente es mucho más fácil de entender, vamos a verlo representado. En los siguiente dos gráficos vemos representados tanto la duración como la convexidad.

A menor rentabilidad del bono, mayor será su precio. Y al revés, a mayor rentabilidad del bono menor será su precio. Claro que, el precio no cambia en la misma proporción si su rentabilidad cambia del 10 al 12% que si cambia del 1 al 2%. Esto es lo que tiene en cuenta la convexidad. La duración asume que el cambio en el precio es el mismo siempre. Mientras la convexidad tiene en cuenta que el cambio en el precio no es constante. La diferencia entre la línea azul y la naranja es la convexidad propiamente dicha. La línea naranja es el cambio en el precio del bono teniendo en cuenta la duración. Por último, la línea azul representa los cambios en el precio del bono teniendo en cuenta duración y convexidad.

Tenemos un bono con vencimiento a 10 años. El cupón es del 7% y el bono tiene valor nominal de 100 euros . La TIR del mercado es del 5%. Lo cual quiere decir que bonos de similares características están ofreciendo un 5% de rentabilidad. O lo que es lo mismo un 2% menos. El pago de cupones es anual.

¿Si la rentabilidad del bono pasa del 7% al 5% cuánto varía el precio del bono? Para calcular la variación que tendría el precio ante un cambio en el tipo de interés necesitaremos las siguientes fórmulas:

Cálculo del precio del bono:

Cálculo de la duración del bono:

Cálculo de la duración modificada:

Cálculo de la convexidad:

Cálculo de la variación de la duración:

Cálculo de la variación de la convexidad:

Cálculo de la variación del precio del bono:

Descargar tabla excel para ver todos los cálculos detallados

Utilizando las fórmulas arriba mencionadas obtenemos los siguientes datos:

Precio del bono =115,44

Duración = 7,71

Duración Modificada  = 7,34

Convexidad = 69,73

La variación del precio ante una caída de la rentabilidad del bono del 2% es del +14,68% teniendo en cuenta la duración. La variación del precio del bono teniendo en cuenta la convexidad es del +1,39%. Para obtener la variación total del precio hemos de sumar las dos variaciones. El cálculo arroja que ante una caída del 2% en este bono, aumentaría el precio en un 16,07%.