Geometría euclidiana

La geometría euclidiana, euclídea o parabólica es la rama de las matemáticas que se desarrolla en espacios euclídeos. Estos son aquellos entornos que cumplen los postulados del matemático griego Euclides.

Este tipo de geometría es aquella que sustenta Euclides en Los Elementos, tratado que data del siglo IV A.C. Este es considerado como uno de los textos más influyentes de la historia y recopila desde conceptos básicos de geometría hasta el famoso teorema de Pitágoras.

Desde la geometría euclidiana se analizan las propiedades de diversos elementos, tanto unidimensionales (como rectas y puntos) como bidimensionales tales como polígonos (triángulos, cuadrados, pentágonos, etc).

Incluso, a partir de la geometría euclídea se pueden analizar figuras de tres dimensiones, siempre que se cumplan los postulados de Euclides (que detallaremos más adelante), en particular, el quinto de ellos.

Es decir, aunque suelen confundirse, la geometría plana es solo una parte de la geometría euclidiana que se dedica al estudio de figuras geométricas en un plano bidimensional.

Los postulados de Euclides

Los cinco postulados de Euclides son los siguientes:

• Dados dos puntos, se puede dibujar una recta que los una.
• Cualquier segmento puede extenderse de forma continua en cualquier sentido.
• Es posible dibujar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
• Todos los ángulos rectos son congruentes, es decir, tienen la misma medida (90º).
• El quinto postulado de Euclides nos indica que si una recta corta a otras dos y forma, a un mismo lado, dos ángulos interiores agudos (menores a 90º), esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están dichos ángulos (ver imagen inferior).

Como observamos en la figura de arriba, si la recta A y la recta B se prolongan hacia arriba, se cortan. Es decir, no son paralelas.

Limitaciones de la geometría euclidiana

La geometría euclidiana tiene limitaciones, particularmente, porque no es posible estudiar un espacio tridimensional donde no se cumpla el quinto postulado de Euclides.

Albert Einstein llamó la atención sobre la necesidad de recurrir a la geometría no euclidiana para estudiar el espacio-tiempo curvo, es decir, aquel que no es lineal (como suele concebirse tradicionalmente). Esta es una de las consecuencias de la teoría general de la relatividad, que postula que el espacio no es como un plano euclidiano, sino que puede presentar deformaciones.