Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es una norma que se cumple en el caso de un triángulo rectángulo, siendo la suma de cada uno de los catetos elevados al cuadrado igual a la hipotenusa elevada al cuadrado.

Debemos tomar en cuenta que esta ley solo se cumple para un tipo de triángulo muy particular, el triángulo rectángulo, que es aquel donde dos de los tres lados, que son los denominados catetos, forman un ángulo recto, es decir, que mide 90º.

El teorema de Pitágoras lo observamos en la siguiente fórmula, donde AB y BC son los catetos y AC es la hipotenusa del triángulo que mostramos en el gráfico de abajo.

AB²+BC²=AC²

Entonces, el teorema de Pitágoras nos permite calcular la longitud de uno de los lados del triángulo cuando conocemos los otros dos. Asimismo, sabiendo la longitud de todos los lados, podemos verificar sin un triángulo es rectángulo.

Cabe señalar que en la figura mostrada las medidas de los ángulos son referenciales. Pueden tener distintas medidas, pero en todos los triángulos, en general (no solo en los rectángulos), los ángulos interiores siempre deben sumar 180º. Por ende, si uno mide 90º, la suma de los otros dos necesariamente debe ser 90º.

Entonces, tomando en cuenta lo anterior, en un triángulo rectángulo uno de los ángulos es recto y los otros dos deben ser agudos (menores que 90º).

Ejemplo de aplicación del teorema de Pitágoras

Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo, siendo la longitud de su hipotenusa 15 metros y la de uno de sus catetos, 10 metros ¿Cuánto mide el otro cateto?

Entonces, desarrollamos la operación:

15²=10²+x²

225=100+x²

x²=125

x=11,1803 metros

Veamos otro ejercicio. Nos podrían decir que se tiene un triángulo cuyos lados miden 8, 11 y 14 metros. ¿Puede ser un triángulo rectángulo?

8²+11²=64+121=185

14²=196

185 ≠ 196

Por lo tanto, el triángulo no puede ser rectángulo (en este punto cabe destacar que la hipotenusa siempre medirá más que los catetos).

Ahora, como tercer ejemplo de aplicación de este teorema, supongamos que nos dicen que tenemos un cuadrado cuyos lados miden 12 metros. ¿Cuál es la longitud de su diagonal?

En este caso, debemos recordar que los ángulos interiores de un cuadrado miden 90º. Por lo tanto, cuando trazamos una diagonal dividimos la figura en dos triángulos rectángulos (como se observa en la figura inferior).

Entonces, la longitud de la diagonal (x) sería:

12² + 12² = x²

144 + 144 = x²

x² = 288

x = 16,9706 metros