Logaritmo natural

De forma intuitiva, lo que pretende resolver el logaritmo natural es la siguiente ecuación:

e^y=x

Donde ‘y’ sería el resultado que estamos buscando. Es decir, si x es 20, cuánto ha de valer ‘y’ al elevarlo a ‘e’ para que la ecuación se cumpla. Por ejemplo, el resultado de ln(20)

e^y=20 ⇒ y = 3

Teniendo en cuenta que el número ‘e’ vale 2,7182818 … comprobamos que si lo elevamos a 3, efectivamente, el resultado es 20,07. Esto es así, porque en realidad el logaritmo natural de 20 es 2,99. Pero en este ejemplo, hemos utilizado el 3 para que sea más sencillo.

Matemáticamente el dominio del logaritmo natural es:

{x ∈ ℜ: x > 0}

Es decir, x debe ser un número real mayor que cero. En caso contrario, la función no existe. La manera de comprobarlo es francamente sencilla. Solo hemos de comprobarlo con un número que sea cero o menor. Por ejemplo:

e^y=0 ⇒ y = No existe resultado

No existe ningún número ‘y’ que al elevarlo a ‘e’ de como resultado cero. Podemos acercarnos mucho a cero, pero el resultado nunca será cero.

De un modo más preciso podemos ampliar la definición más allá de los reales positivos hacia los números complejos. Para cualquier real negativo x, definiríamos, donde efectivamente i corresponde a la raíz cuadrada de (-1). Sin embargo, esto es una nota más avanzada y no es objetivo poner detalles sobre números complejos en esta explicación.

La representación gráfica de esta función es:

Recordando que la función que estamos representando es e^y=x, vemos que conforme cambia el valor de ‘y’ también lo hace el de ‘x’. Vamos a comprobar que el gráfico es fiel a la ecuación. Podemos ver que cuando ‘y’ vale cero, entonces ‘x’ vale 1. Aplicando la ecuación:

e^y=0 ⇒ e⁰=1

En efecto, en matemáticas sabemos que cualquier número cuando se eleva a 0 da como resultado 1.

En finanzas solo se contemplan los reales positivos dado que normalmente se utilizan para calcular rentabilidades de manera continua sobre los precios de cotización de los activos financieros. Los precios acostumbran a ser positivos, entonces, cumplen la restricción (x > 0) siendo x los precios en este caso.

La utilización más frecuente en economía es en los análisis econométricos, donde las regresiones simples y/o múltiples incorporan logaritmos en las ecuaciones con el objetivo de aportar estabilidad en los regresores, reducir las observaciones atípicas y establecer distintas visiones de la estimación, entre otras aplicaciones.

En definitiva, la razón por la que se utilizan los logaritmos naturales en econometría es para facilitar las operaciones a realizar. Los logaritmos tienen ciertas propiedades que permiten realizar operaciones matemáticas complejas con relativa rapidez y sencillez.