Modelo Autoregresivo Distribuido Rezagado (ADR) (II)

En otras palabras, el modelo ADR es una extensión del modelo autoregresivo de orden p, AR(p), que incluye otra variable independiente en un período de tiempo anterior al período de la variable dependiente. 

Basándonos en los datos desde 1995 hasta 2018, calculamos los logaritmos naturales de los forfaits para cada año y retrocedemos un período para las variables forfaits_t y pistas_t:

Año	Forfaits (€)	ln_t	ln_t-1	Pistas_t	Pistas_t-1	Año	Forfaits (€)	ln_t	ln_t-1	Pistas_t	Pistas_t-1
1995	32	3,4657		8		2007	88	4,4773	4,3820	6	9
1996	44	3,7842	3,4657	6	8	2008	40	3,6889	4,4773	5	6
1997	50	3,9120	3,7842	6	6	2009	68	4,2195	3,6889	6	5
1998	55	4,0073	3,9120	5	6	2010	63	4,1431	4,2195	10	6
1999	40	3,6889	4,0073	5	5	2011	69	4,2341	4,1431	6	10
2000	32	3,4657	3,6889	5	5	2012	72	4,2767	4,2341	8	6
2001	34	3,5264	3,4657	8	5	2013	75	4,3175	4,2767	8	8
2002	60	4,0943	3,5264	5	8	2014	71	4,2627	4,3175	5	8
2003	63	4,1431	4,0943	6	5	2015	73	4,2905	4,2627	9	5
2004	64	4,1589	4,1431	6	6	2016	63	4,1431	4,2905	10	9
2005	78	4,3567	4,1589	5	6	2017	67	4,2047	4,1431	8	10
2006	80	4,3820	4,3567	9	5	2018	68	4,2195	4,2047	6	8
						2019	?	?	4,2195		6

Para hacer la regresión, utilizamos los valores de ln_t como variable dependiente y los valores ln_t-1 y pistas_t-1 como variables independientes. Los valores en rojo quedan fuera de la regresión.

Obtenemos los coeficientes de la regresión:

En este caso, el signo de los regresores es positivo:

• Un aumento de 1€ en el precio los forfaits en la temporada anterior (t-1) se traslada en un aumento de 0,48€en el precio de los forfaits para esta temporada (t).

• Un aumento de una pista negra abierta en la temporada anterior (t-1) se traslada en un aumento de un 4,1% en el precio precio de los forfaits para esta temporada (t).

Los valores entre paréntesis debajo de los coeficientes son los errores típicos de las estimaciones.

Sustituimos

Entonces, 

Año	Forfaits (€)	Pistas	Año	Forfaits (€)	Pistas
1995	32	8	2007	88	6
1996	44	6	2008	40	5
1997	50	6	2009	68	6
1998	55	5	2010	63	10
1999	40	5	2011	69	6
2000	32	5	2012	72	8
2001	34	8	2013	75	8
2002	60	5	2014	71	5
2003	63	6	2015	73	9
2004	64	6	2016	63	10
2005	78	5	2017	67	8
2006	80	9	2018	68	6
		2019	63

Qué modelo se ajusta mejor para predecir los precios de los forfaits dadas las observaciones anteriores, AR(1) o ADR(1,1)? En otras palabras, ¿incorporar la variable independiente pistas_t-1 en la regresión ayuda a ajustar mejor nuestra predicción?

Miramos el R cuadrado de las regresiones de los modelos:

Modelo AR(1): R²= 0,33

Modelo ADR(1,1): R²= 0,40

El R² del modelo ADR(1,1) es más alto que el R² del modelo AR(1). Esto significa que introducir la variable independiente pistas_t-1 en la regresión sí ayuda a ajustar mejor nuestra predicción.