Coeficiente de determinación (R cuadrado): qué es y cómo funciona

¿Qué es el coeficiente de determinación?

El coeficiente de determinación es la proporción de la varianza total de una variable explicada por una regresión. También conocido como R cuadrado, indica qué tan bien un modelo se ajusta a la variable que pretende explicar.

Coeficiente de determinación: Explicación sencilla

El R cuadrado responde a una pregunta: ¿cuánto me ayuda el modelo a entender por qué sube y baja la variable que estudio? Su resultado varía entre 0 y 1, aunque a veces se expresa de 0 a 100.

Cuanto más cerca esté de 1, mejor se ajusta el modelo a la variable. Si está cerca de 0, el modelo explica poco de sus variaciones y sus estimaciones se ajustan peor a los datos reales.

Para entender esto mejor, dividimos la fórmula en dos partes. Primero, el numerador, que es la parte superior.

Si no conoces la varianza, te recomiendo leer nuestro artículo sobre ella. Si la conoces, verás que el numerador es muy parecido a la varianza, pero con dos diferencias clave.

La primera es que la Y tiene un sombrerito, que indica que es una estimación del modelo y no el valor real. La segunda es que la varianza normalmente se divide por T o N, el número de observaciones. Para simplificar, eliminamos ese denominador.

Ahora, veamos el denominador, que es la parte inferior.

Aquí la diferencia con la varianza vuelve a ser la ausencia del denominador. Así, el R cuadrado compara la variación que recoge el modelo con la variación total de la variable. Veamos un ejemplo práctico para entenderlo mejor.

Interpretación del coeficiente de determinación

Supongamos que queremos explicar la cantidad de goles que anota Cristiano Ronaldo según el número de partidos que juega. Suponemos que, a más partidos jugados, más goles meterá. Los datos corresponden a ocho temporadas de su carrera y, tras extraerlos, el modelo arroja la siguiente estimación:

Como podemos ver en el gráfico, la relación es positiva: a más partidos jugados, más goles anota en la temporada. El ajuste, según el cálculo del R cuadrado, es de 0,835. Esto quiere decir que las estimaciones del modelo se ajustan bastante bien a la variable real.

Dicho de otra forma, el modelo explica el 83,5 % de la variabilidad de los goles por temporada. Eso no significa que acierte el 83,5 % de las veces, ni que los partidos sean la única causa de los goles.

El R cuadrado en el análisis de fondos de inversión

En los fondos, el R cuadrado (o R²) mide cuánto ayuda un índice de referencia a entender los cambios de rentabilidad de un fondo, normalmente en una escala de 0 a 100. Una forma de verlo es con un pescador y el resto de barcas de su puerto.

Si, salida tras salida, cuando el puerto trae más pescado él también trae más, y cuando trae menos él también, mirar el puerto ayuda mucho a entender su pesca: es un R² alto. Si no hay una relación regular, ayuda poco y el R² es bajo. El número no dice por qué; quizá pesca en otra zona o con otra técnica.

Ojo, relación regular no significa traer lo mismo: quien trajera siempre la mitad que el puerto tendría una relación perfecta.

Por eso un fondo con un R² cercano a 100 no tiene por qué tener las mismas inversiones que su índice. Y un R² alto no indica que el fondo sea bueno, solo que el alfa y la beta calculados frente a ese índice son más fiables.

El problema del coeficiente de determinación

El problema del coeficiente de determinación, y la razón por la que surge el coeficiente de determinación ajustado, es que no penaliza la inclusión de variables explicativas no significativas.

Es decir, si al modelo se añaden cinco variables explicativas que guardan poca relación con los goles que anota Cristiano Ronaldo en una temporada, el R cuadrado aumentará igualmente. Por eso muchos econometras, estadísticos y matemáticos desaconsejan usar el R cuadrado como única medida de la bondad del ajuste.

El coeficiente de determinación ajustado

El coeficiente de determinación ajustado (R cuadrado ajustado) mide, igual que el R cuadrado, qué parte de la varianza de la variable explicada recoge la regresión. La diferencia es que el coeficiente de determinación ajustado penaliza la inclusión de variables.

Como hemos dicho anteriormente, el coeficiente de determinación de un modelo aumenta aunque las variables que incluyamos no sean relevantes. Para intentar solventar este problema, el R cuadrado ajustado queda tal que:

En la fórmula, N es el tamaño de la muestra y k el número de variables explicativas. A valores más altos de k, más alejado estará el R cuadrado ajustado del R cuadrado normal. Al revés, a valores más bajos de k, más cerca estará de 1 la fracción central y más parecidos serán ambos.

Recordando que k es el número de variables explicativas, deducimos que no puede ser cero: como mínimo tendremos que explicar una variable en función de otra. Por eso el R cuadrado ajustado será siempre igual o inferior al R cuadrado normal (solo coinciden con un ajuste perfecto) y, a diferencia de este, puede llegar a ser negativo.