Coeficiente de determinación (R cuadrado)

El coeficiente de determinación, se define como la proporción de la varianza total de la variable explicada por la regresión. El coeficiente de determinación, también llamado R cuadrado, refleja la bondad del ajuste de un modelo a la variable que pretender explicar.

Es importante saber que el resultado del coeficiente de determinación oscila entre 0 y 1. Cuanto más cerca de 1 se sitúe su valor, mayor será el ajuste del modelo a la variable que estamos intentando explicar. De forma inversa, cuanto más cerca de cero, menos ajustado estará el modelo y, por tanto, menos fiable será.

En la expresión anterior tenemos una fracción. Así pues, vayamos por partes. En primer lugar, analizaremos el numerador, es decir, la parte de arriba.

Para aquellos que no conozcan la expresión de la varianza, les recomiendo que lean el artículo sobre la misma. Para aquellos que si la conozcan, podrán caer en la cuenta de que es la expresión de la varianza, pero con dos diferencias fundamentales.

La primera diferencia es que la Y lleva un circunflejo o, lo que los profesores llaman de forma didáctica, “sombrerito”. Ese sombrerito lo que detalla es que esa Y es la estimación de un modelo sobre lo que según las variables explicativas vale Y, pero no es el valor real de Y, sino una estimación de Y.

En segundo lugar, faltaría dividir entre T. Que, en otros casos, se nota como N o número de observaciones. Sin embargo, dado que la fórmula del denominador también la llevaría, eliminamos los denominadores (parte de abajo) de ambas fórmulas para simplificar la expresión. De esta manera es más fácil trabajar con ella.

A continuación, vamos a realizar el mismo análisis con la parte del denominador (parte de abajo).

En este caso, la única diferencia existente respecto a la fórmula original de la varianza es la ausencia de su denominador. Es decir, no dividimos entre T o N. Hecho, que ya hemos aclarado anteriormente. De manera que una vez explicadas las dos partes de la expresión genérica del R Cuadrado o coeficiente de determinación vamos a ver un ejemplo:

Interpretación del coeficiente de determinación

Supongamos que queremos explicar la cantidad de goles que anota Cristiano Ronaldo según la cantidad de partidos que juega. Suponemos que, a mayor cantidad de partidos jugados, más goles meterá. Los datos pertenecen a las últimas 8 temporadas. De tal manera que tras extraer los datos el modelo arroja la siguiente estimación:

Cómo podemos ver en el gráfico, la relación es positiva. A más partidos jugados, como es lógico, más goles anota en la temporada. El ajuste, según el cálculo del R cuadrado, es de 0.835. Lo cual quiere decir que es un modelo cuyas estimaciones se ajustan bastante bien a la variable real. Aunque técnicamente no sería correcto, podríamos decir algo así como que el modelo explica en un 83.5% a la variable real.

El problema del coeficiente de determinación

El problema del coeficiente de determinación, y razón por el cual surge el coeficiente de determinación ajustado, radica en que no penaliza la inclusión de variables explicativas no significativas. Es decir, si al modelo se añaden cinco variables explicativas que guardan poca relación con los goles que anota Cristiano Ronaldo en una temporada, el R cuadrado aumentará. Es por ello que muchos expertos económetras, estadísticos y matemáticos se oponen al uso del R cuadrado como medida representativa de la bondad del ajuste real.

El coeficiente de determinación ajustado

El coeficiente de determinación ajustado (R cuadrado ajustado) es la medida que define el porcentaje explicado por la varianza de la regresión en relación con la varianza de la variable explicada. Es decir, lo mismo que el R cuadrado, pero con una diferencia. Esa diferencia se encuentra en que el coeficiente de determinación ajustado penaliza la inclusión de variables.

Cómo hemos dicho anteriormente el coeficiente de determinación de un modelo aumenta aunque las variables que incluyamos no sean relevantes. Ya que esto supone un problema, para intentar solventarlo el R cuadrado ajustado queda tal que:

Donde N es el tamaño de la muestra y k el número de variables explicativas. Por deducción matemática, a valores más altos de k, más alejado estará el R cuadrado ajustado del R cuadrado normal. Al revés a valores más bajos de k, más cerca estará de 1 la fracción central y, por tanto, más parecidos serán el R cuadrado ajustado y el R cuadrado normal.

Recordando que k es el número de variables explicativas, deducimos que éste no puede ser cero. Si fuese cero, no existiría modelo. Como mínimo tendremos que explicar una variable en función de otra variable. Dado que k debe ser como mínimo 1, el R cuadrado ajustado y el R cuadrado normal no pueden tener el mismo valor. Es más, el R cuadrado ajustado será siempre inferior al R cuadrado normal.