La varianza es una medida de dispersión que representa la variabilidad de una serie de datos respecto a su media. Formalmente se calcula como la suma de los residuos al cuadrado divididos entre el total de observaciones.
También se puede calcular como la desviación típica al cuadrado. Dicho sea de paso, entendemos como residuo a la diferencia entre el valor de una variable en un momento y el valor medio de toda la variable.
Antes de ver la fórmula de la varianza, debemos decir que la varianza en estadística es muy importante. Ya que aunque se trata de una medida sencilla, puede aportar mucha información sobre una variable en concreto.
Fórmula para calcular la varianza
La unidad de medida de la varianza será siempre la unidad de medida correspondiente a los datos pero elevada al cuadrado. La varianza siempre es mayor o igual que cero. Al elevarse los residuos al cuadrado es matemáticamente imposible que la varianza salga negativa. Y de esa forma no puede ser menor que cero.
Donde
- X: variable sobre la que se pretenden calcular la varianza
- xi: observación número i de la variable X. i puede tomará valores entre 1 y n.
- n: número de observaciones.
- x̄: Es la media de la variable X.
O lo que es lo mismo:
¿Por qué se elevan al cuadrado los residuos?
La razón por la que los residuos se elevan al cuadrado es sencilla. Si no se elevasen al cuadrado, la suma de residuos sería cero. Es una propiedad de los residuos. Así pues para evitarlo, tal como ocurre con la desviación típica se elevan al cuadrado. El resultado es la unidad de medida en la que se miden los datos pero elevada al cuadrado.
Por ejemplo, si tuviésemos datos sobre los salarios de un conjunto de personas en euros, el dato que arroja la varianza sería en euros cuadrados. Para que tenga sentido la interpretación calcularíamos la desviación típica y pasaríamos el dato a euros.
- Desviación -> (2-3) = -1
- Desviación -> (4-3) = 1
- Desviación -> (2-3) = -1
- Desviación -> (4-3) = 1
- Desviación -> (2-3) = -1
- Desviación -> (4-3) = 1
Si sumamos todas las desviaciones el resultado es cero.
¿Qué diferencia existe entre la varianza y la desviación típica?
Una cuestión que se podría plantear, y con razón, sería la diferencia entre varianza y desviación típica. En realidad, vienen a medir lo mismo. La varianza es la desviación típica elevada al cuadrado. O al revés, la desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
La desviación típica se hace para poder trabajar en las unidades de medida iniciales. Claro que, como es normal, uno puede preguntarse, ¿de qué sirve tener como concepto la varianza? Bien, aunque la interpretación del valor que arroja no nos da demasiada información, su cálculo es necesario para obtener el valor de otros parámetros.
Para calcular la covarianza necesitamos la varianza y no la desviación típica, para calcular algunas matrices econométricas se utiliza la varianza y no la desviación típica. Es una cuestión de comodidad a la hora de trabajar con los datos en según qué cálculos.
Ejemplo de cálculo de la varianza
Vamos a acuñar una serie de datos sobre salarios. Tenemos cinco personas, cada uno con un salario diferente:
Juan: 1.500 euros
Pepe: 1.200 euros
José: 1.700 euros
Miguel: 1.300 euros
Mateo: 1.800 euros
La media del salario, la cual necesitamos para nuestro cálculo, es de ((1.500 + 1.200 + 1.700 + 1.300 + 1.800) /5) 1.500 euros.
Dado que la fórmula de la varianza en su forma desglosada se formula como sigue:
Obtendremos que se debe calcular tal que:
El resultado es de 52.000 euros al cuadrado. Es importante recordar que siempre que calculamos la varianza tenemos las unidades de medida al cuadrado. Para pasarlo a euros, en este caso tendríamos que realizar la desviación típica. El resultado aproximado sería de 228 euros. Esto quiere decir que, en media, la diferencia entre los salarios de las distintas personas será de 228 euros.
Está mal la fórmula de la varianza, se debe de dividir entre n-1
Hola, gracias por comentar y por exponer el comentario.
La varianza, como concepto, nunca se debe dividir entre n-1. El nombre con el que se denomina a la fórmula de la varianza cuandos se divide entre n-1 es 'Cuasivarianza'. Para ser más precisos, aunque para simplificar no lo hemos indicado en el artículo, deberíamos diferenciar entre N y n. N es el tamaño de la población. La varianza se divide siempre entre N. Mientras en la cuasivarianza debemos dividir entre n-1, donde 'n' es el tamaño de la muestra.
Esperamos haberle ayudado. Un placer recibirte en Economipedia.
Hola, me queda una duda con respecto a tu respuesta. Dices que en esta varianza se debe dividir siempre entre N, pero la fórmula está con n… Me podrías explicar por fa. Mil gracias.
Hola Mayra,
Si dividimos entre N se trata de la varianza poblacional. Entre n se trata de la varianza muestral.
Saludos y gracias por comentar.
Me sirvio mucho gracias 😘😘😗😍😁😉
¡ Gracias a ti Gabi !
Muchas gracias, fácil de comprender
I like
me gustaria recibir un curso desde cero. me dices el valor y como lo puedo pagar. es urgente
Hola,
Actualmente no tenemos cursos, pero estamos trabajando en ello. ¡ Los próximos meses estarán disponibles !
siguen dando cursos me interesan muchooo y muy buena forma de explicar
me ayudo bastante gracias
Gracias a ti por visitarnos.
¡ Economipedia es tu casa !
para que sirve la covarianza y que significa para un caso real.
Hola José,
Para entender bien el concepto de covarianza te recomendamos que leas el siguiente artículo: https://economipedia.com/definiciones/covarianza.html
Esperamos que te sea de utilidad. Saludos de parte del equipo de Economipedia.
Gracias por sus explicaciones. Quisiera que me ayuden a encontrar la forma de obtener el error en una proyección a partir de una serie histórica y mediante mínimos cuadrados Entendiendo que la proyección estimación.
Gracias
Hola Hugo,
Para hacerlo puedes calcular la desviación típica de los residuos. Es decir, calcular la desviación típica de la serie resultado de hacer la diferencia entre el valor estimado y el valor observado. Enlace para calcular la desviación típica -> https://economipedia.com/definiciones/desviacion-tipica.html
Un saludo y gracias a ti.
Me quede con una duda; en el resultado del ejercicio dice: 52.000 Euros al cuadrado, pero al elevarlo nos da otro resultado. no debería ser raíz cuadrada? solo asi se llega al resultado. GRACIAS.
Hola Jose Antonio,
Está explicado en el último párrafo del texto. Importante no confundir varianza con desviación típica.
Un saludo y gracias por comentar.
Muchas gracias por explicarlo de manera tan sencilla y sin que parezca pesado (con los típicos textos enooooormes). Es una lectura muy ligera, pero a su vez muy sabrosa en aprendizaje. Gracias!
Excelente información, deseo tomar una cita de este artículo pero no puedo encontrar la fecha de publicación, sería muy bueno incluir en el texto la manera de cómo citar este y otros artículos para darle el valor que corresponde a sus aportaciones.
Hola Rodrigo,
Primero que todo muchas gracias por el interés en nuestra publicación. Para disponer de todos los datos necesarios para citar y referenciar, debes completar el registro. A través del siguiente enlace puedes hacerlo: https://economipedia.com/registro
Una vez completado el registro, podrás iniciar sesión y al final de cada artículo tendrás toda la información necesaria para citar y referenciar.
Un saludo, cualquier duda te atenderemos encantados.
¡Gracias, me ayudó muchísimo!
Gracias a ti Verónica,
¡ Un saludo !
Cual es la diferencia entre la varianza poblacional y varianza muestral?
Hola Juancho,
La diferencia es que la varianza poblacional se calcula sobre la población estadística y la varianza muestral sobre la muestra. A este respecto, te recomendamos que leas los siguientes artículo sobre ello ↓
https://economipedia.com/definiciones/poblacion-estadistica.html
https://economipedia.com/definiciones/muestra-estadistica.html
necesito la varianza de las siguientes distribuciones:
1) 12,13,15,17,9,12,12,17,18,19.
2) 3.88 ,4.09 ,3.92 ,3.97 ,4.02 ,3.95 ,3.98 ,4.03 ,3.92 ,4.06
3) 25,12,15,23,24,39,13,31,19,16
Hola,
Las respuestas son:
1) 9,64
2) 0,0041
3) 65,81
Ojo, hemos utilizado la fórmula del artículo que permite calcular la varianza de la población. Cuando se trata de la varianza de una muestra se divide entre el número de elementos menos 1 (n-1). Gracias por tu consulta.
Saludos
Excelente, me encanta su contenido
Los felicito, son bastante claros, me agradan los ejemplos.
Todo un éxito