Modelo matemático

Un modelo matemático es una representación simplificada, a través de ecuaciones, funciones o fórmulas matemáticas, de un fenómeno o de la relación entre dos o más variables. La rama de las matemáticas que se encarga de estudiar las cualidades y estructura de los modelos es la llamada “teoría de los modelos”.

Los modelos matemáticos son utilizados para analizar la relación entre dos o más variables. Pueden ser utilizados para entender fenómenos naturales, sociales, físicos, etc. Dependiendo del objetivo buscado y del diseño del mismo modelo pueden servir para predecir el valor de las variables en el futuro, hacer hipótesis, evaluar los efectos de una determinada política o actividad, entre otros objetivos.

Aunque parezca un concepto teórico, en realidad hay muchos aspectos de la vida cotidiana regidos por modelos matemáticos. Lo que ocurre es que no son modelos matemáticos enfocados a teorizar. Al contrario, son modelos matemáticos formulados para que algo funcione. Por ejemplo, un coche.

Los modelos matemáticos pueden variar en cuanto a su complejidad, pero todos ellos tienen un conjunto de características básicas:

• Variables: Son los conceptos u objetos que se busca entender o analizar. Sobre todo con respecto a su relación con otras variables. Así por ejemplo, una variable puede ser el salario de los trabajadores y lo que queremos analizar son sus principales determinantes (por ejemplo: años de estudio, educación de los padres, lugar de nacimientos, etc.).
• Parámetros: Se trata de valores conocidos o controlables del modelo.
• Restricciones: Son determinados límites que nos indican que los resultados del análisis son razonables. Así por ejemplo, si una de las variables es el número de hijos de una familia, una restricción natural es que este valor no puede ser negativo.
• Relaciones entre las variables: El modelo establece una determinada relación entre las variables apoyándose en teorías económicas, físicas, químicas, etc.
• Representaciones simplificadas: Una de las características esenciales de un modelo matemáticos es la representación de las relaciones entre las variables estudiadas a través de elementos de las matemáticas tales como: funciones, ecuaciones, fórmulas, etc.

Cuando se diseña un modelo matemático, se busca que este tenga un conjunto de propiedades que ayude a asegurar su robustez y efectividad. Entre estas propiedades se encuentran:

• Simplicidad: Uno de los objetivos principales de un modelo matemático es simplificar la realidad para poder entenderla mejor.
• Objetividad: Que no tenga sesgos ni teóricos ni de los prejuicios o ideas de sus diseñadores.
• Sensibilidad: Que sea capaz de reflejar los efectos de pequeñas variaciones.
• Estabilidad: Que el modelo matemático no se altere significativamente cuando hay cambios pequeños en las variables.
• Universalidad: Que sea aplicable a varios contextos y no sólo a un caso particular.

Evidentemente existen muchas más, pero las anteriores son las más intuitivas.

En términos generales el proceso de elaboración de un modelo matemático es el siguiente:

1. Encontrar un fenómeno o problema.
2. Formular un modelo con elementos de matemáticas representando el problema elegido identificando las variables relevantes (dependientes e independientes).
3. Establecer hipótesis y un método de prueba de su veracidad.
4. Aplicar los conocimientos matemáticos para resolver el modelo y hacer predicciones si es necesario.
5. Hacer comparaciones de los datos obtenidos con datos reales.
6. Si los resultados no se ajustan a lo esperado, ir ajustando el modelo matemático.

Existen diversos tipos de modelos matemáticos. A continuación, vemos algunos de los tipos de modelos más relevantes:

• Heurístico: Basado en posibles explicaciones sobre las causas de los fenómenos observados.
• Empírico: Utiliza la información de la experimentación real.

• Cualitativos o conceptuales: Se refieren a un análisis de la calidad o la tendencia de un fenómeno sin calcular un valor exacto.
• Cuantitativos o numérico: Los resultados obtenidos tienen un valor concreto que tiene un cierto significado (puede ser exacto o relativo).

• Determinista: No tiene incertidumbre, los valores son conocidos.
• Estocástico: No se conoce con exactitud el valor de las variables en todo momento. Existe incertidumbre y por ende una distribución de probabilidad de los resultados.

• Simulación o descriptivo: Simula o describe un fenómeno. Los resultados se enfocan a predecir qué sucederá una determinada situación.
• Optimización: Se utilizan para encontrar una solución óptima a un problema.
• De control: Para mantener el control de una organización o sistema y determinar las variables que deben ajustarse para obtener los resultados buscados.