Momentos parciales bajos (MPB)

Los Momentos Parciales Bajos (MPB), del inglés Lower Partial Moments (LPM), registra la medida de dispersión de aquellas observaciones que son inferiores a un umbral b determinado. 

En otras palabras, MPB utilizan un umbral fijado para hacer comparaciones respecto las observaciones y determinar cuáles están por debajo de ese umbral b.

Normalmente todos los términos de la fórmula están expresados en términos anuales. Si los datos están expresados en otros términos, tendremos que anualizar los resultados. 

Artículos recomendados: Funciones MAX y MIN con restricción.

Matemáticamente

Definimos la variable Z como una variable aleatoria discreta formada por Z₁,…,Z_N observaciones con el objetivo de compararlas con un umbral b. Los MPBs de orden k solo pueden definirse para cualquier k positivo. 

Para hacer la comparación, es decir, buscar el máximo o mínimo, necesitamos fijar un rango en las observaciones con límite superior y un límite inferior. 

• Límite superior: Todos los resultados de la función que estén por encima del límite superior fijado no se tendrán en cuenta.
• Límite inferior: Todos los resultados de la función que estén por debajo del límite inferior fijado no se tendrán en cuenta.

MAX o MIN en MPB

La función para momentos parciales bajos es distinta dependiendo de si empleamos la función MAX o MIN en las observaciones: 

• Minimizar: 
  • Función: min()
  • Límite superior: 0
  • Límite inferior: Z – b
  • Punto: (Z – b,0)

• Maximizar: 
  • Función:  max()
  • Límite superior: b – Z
  • Límite inferior: 0
  • Punto: (b – Z,0)

Matemáticamente, los MPBs de orden k pueden expresarse tanto con la función MAX como la función MIN: 

• Función MIN:

Establecemos el valor absoluto para tener el resultado positivo.

• Función MAX:

Tipos de MPBs

Utilizamos la función max(b – Z,0)para describir los tipos de MPBs porque es más intuitiva. Sin embargo, se podría utilizar la función min(|Z–b|,0) indistintamente.  

MPB de primer orden (k=1)

• Grado de dispersión de orden 2 de los valores de Z inferiores a b. 
• Retribución esperada de una opción PUT con strikeb.

MPB de segundo orden (k=2)

• Grado de dispersión de orden 2 de los valores de Z inferiores a b. 

MPB de tercer orden (k=3)

• Grado de dispersión de orden 3 de los valores de Z inferiores a b. 

MPB de cuarto orden (k=4)

• Grado de dispersión de orden 4 de los valores de Z inferiores a b. 

Ejemplo práctico

Suponemos que queremos realizar un estudio sobre el grado de dispersión de la cotización de AlpineSkidurante 18 meses (un año y medio). Específicamente, queremos encontrar los MPB de orden 2 que están por debajo del umbral del 2% anual. 

Procedimiento

0. Descargamos las cotizaciones i calculamos las rentabilidades continuas.

2. Calculamos:

3. Interpretación

• El Momento Parcial Bajo (MPB) de segundo orden dado un umbral anual del 2% es de 4,46%. En otras palabras, el grado de dispersión anual de orden 2 de las rentabilidades inferiores a 2% es de 4,46%.