Multiplicación de matrices

La multiplicación de matrices consiste en combinar linealmente dos o más matrices mediante la adición de sus elementos dependiendo de su situación dentro de la matriz origen respetando el orden de los factores. 

En otras palabras, la multiplicación de dos matrices es unificar las matrices en una sola matriz mediante la multiplicación y suma de los elementos de las filas y columnas de las matrices origen teniendo en cuenta el orden de los factores. 

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Multiplicación de matrices

Dadas dos matrices Z y Y de n filas y m columnas:

Propiedades 

• La dimensión de la matriz resultado es la combinación de la dimensión de las matrices. En otras palabras, la dimensión de la matriz resultado serán las columnas de la primera matriz y las filas de la segunda matriz. 

En este caso, buscaremos que Z_n (filas de Z) sea igual a Y_m(columnas de Y) para poder multiplicarlas. Entonces, si son iguales, la matriz resultado será:

Ejemplos

• Multiplicaremos matrices de dos en dos. 

Las matrices las multiplicamos de dos en dos para conservar las dimensiones de las matrices originales y facilitar el proceso.

• La multiplicación de matrices es no conmutativa. 

Esquema propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa representa esa frase tan conocida: el orden de los factores no altera el resultado.

Encontramos esta propiedad en la suma y multiplicación ordinarias, es decir, cuando sumamos y multiplicamos cualquier objeto que no sea una matriz. 

Dado el esquema anterior, la propiedad conmutativa nos dice que si primero multiplicamos el sol azul y luego el sol amarillo, obtendremos el mismo resultado (sol verde) que si multiplicamos primero el sol amarillo y luego el sol azul. 

Entonces, si la multiplicación de matrices no respeta la propiedad conmutativa implica que el orden de los factores sí afecta al resultado. En otras palabras, no obtendremos el sol verde si cambiamos el orden de los soles color amarillo y azul. 

Procedimiento 

Podemos multiplicar las matrices anteriores si el número de las filas de la matriz Z es igual al número de columnas de la matriz Y. Es decir, Z_n = Y_m.

Una vez determinado que podemos multiplicar las matrices, multiplicamos los elementos de cada fila por cada columna y los sumamos de la forma que solo quede un número en el punto donde los óvalos azules anteriores coindicen. 

Primero buscamos donde coinciden los óvalos azules y luego hacemos la suma de las multiplicaciones de los elementos. 

• Para el primer elemento de la matriz resultado, vemos que los óvalos coinciden donde está el elemento z₁₁.

• Para el último elemento de la matriz resultado, vemos que los óvalos coinciden en el elemento y_nm.

Ejemplo teórico 

Dadas dos matrices cuadradas D y E, 

Multiplicar las matrices anteriores. 

Empezamos multiplicando la primera fila de la matriz D con la primera columna de la matriz E. Después hacemos lo mismo pero conservando la fila o la columna de cada matriz dependiendo de si queremos multiplicar unos elementos u otros. Repetimos el procedimiento hasta que hayamos rellenado todos los huecos. 

Ejercicio

Probar que la propiedad conmutativa no se cumple en el producto de matrices.