Operaciones con matrices: Qué son y cómo realizarlas
¿Qué son las operaciones con matrices?
Una matriz es una colección ordenada de elementos, dispuestos en filas y columnas, formando un arreglo rectangular. Estos elementos pueden ser números, símbolos, o expresiones, y están organizados de tal manera que se pueden realizar operaciones matemáticas como sumas, restas, multiplicaciones, y divisiones de matrices.
- Una matriz es simplemente una tabla rectangular de números organizados en filas y columnas. Las dimensiones de una matriz se expresan como “m x n”, donde “m” es el número de filas y “n” es el número de columnas. Así que, una matriz “mxn” tiene “m” filas y “n” columnas.
- Las operaciones fundamentales con matrices incluyen la suma, resta, multiplicación y, en ciertos contextos, la división (a través de la inversa de una matriz).
- Para sumar o restar matrices, estas deben tener las mismas dimensiones, es decir, el mismo número de filas y columnas.
- La multiplicación de matrices es posible cuando el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda. El resultado es una nueva matriz cuyas dimensiones vienen dadas por las filas de la primera y las columnas de la segunda matriz.
Las operaciones con matrices: Explicación sencilla
Una matriz es, en esencia, una tabla compuesta de filas y columnas que almacena números o datos. Son como las hojas de cálculo de Excel que usas en tu ordenador, donde organizas la información en celdas dispuestas en filas y columnas. Pues esa estructura es muy similar a lo que llamamos matriz en matemáticas.
Por tanto, las operaciones con matrices son herramientas muy útiles y se utilizan en muchísimas cosas, como por ejemplo para organizar datos para el procesamiento de imágenes, algoritmos que requieren una manipulación eficiente de grandes volúmenes de datos, para modelar sistemas complejos como circuitos, o para realizar proyecciones financieras, entre muchas cosas.
Estos números están organizados de manera muy específica y se ubican en la tabla mediante una especie de dirección, que nos dice exactamente dónde se encuentran, utilizando lo que llamamos coordenadas.
Cuando hablamos de las dimensiones de una matriz, nos referimos al tamaño de esta tabla en términos de cuántas filas y columnas tiene. Usamos la letra m para referirnos al número de filas y la letra n para el número de columnas. Así, una matriz de tamaño m×n tiene m filas y n columnas. Es como decir que nuestra tabla tiene m líneas horizontales y n líneas verticales.
Suma y resta
La unión de dos o más matrices solo puede hacerse si dichas matrices tienen la misma dimensión. Cada elemento de las matrices puede sumarse con los elementos que coincidan en posición en diferentes matrices.
En el caso de restar dos o más matrices se sigue el mismo procedimiento que usamos para sumar dos o más matrices.
En otras palabras, cuando sumamos o restamos matrices nos vamos a fijar en:
- Las matrices compartan la misma dimensión.
- Sumar o restar los elementos con la misma posición en matrices distintas.
Como hemos dicho, primero comprovamos que sean matrices de igual dimensión. En este caso, son dos matrices 2×2. A continuación, sumamos los elementos que tienen las mismas coordenadas. Por ejemplo, (d) y (h) comparten la misma posición en matrices distintas. La posición, denotada como P, para (d) y (h) es P22.
Ejemplo práctico
Cuando restamos matrices es como en álgebra común, multiplicamos por (-1) la matriz que tiene el signo de restar delante. En este caso es la matriz B.
Multiplicación
Generalmente, la multiplicación de matrices cumple la propiedad no conmutativa, es decir, importa el orden de los elementos durante la multiplicación. Existen casos llamados matrices conmutativas que sí cumplen la propiedad.
Sean Ry X dos matrices no conmutativas, implica que:
RX ≠ XR
Sean R’y X’dos matrices conmutativas, implica que:
RX=XR
Para multiplicar dos matrices necesitamos que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz.
El orden de multiplicación sería tomar la primera fila de la matriz T, multiplicarla por la primera columna de la matriz F y sumar sus elementos.
Podemos multiplicar una matriz por un escalar z cualquiera. En este caso z=2.
Cada elemento de la matriz queda multiplicado por el escalar z=2.
Ejemplo práctico
División
La división de matrices se puede expresar como la multiplicación entre la matriz que iría en el numerador multiplicada por la matriz inversa que iría como denominador.
También podemos dividir una matriz por un escalar z cualquiera. En este caso z=2.
Cada elemento de la matriz queda dividido por el escalar z=2.
Ejemplo práctico
