Paradoja de Condorcet

La paradoja de Condorcet lleva el nombre de su autor, Nicolás Condorcet (1943-1974). Condorcet, más conocido como el marqués de Condorcet, se dedicó a estudiar, entre otras muchas cosas, las probabilidades y los métodos de elección.

Así, en uno de sus ensayos publicado hacia 1785 cayó en la cuenta de que existía la posibilidad de que las colectivos se contradijesen entre sí. Es decir que, teniendo en cuenta las preferencias de voto individuales, las intenciones estaban claras, pero cuando se daba una votación colectiva se daba una paradoja.

El supuesto de transitividad establece lo siguiente:

Dadas tres alternativas (A, B y C) diremos que se cumple el supuesto de transitividad si dados los siguientes resultados:

• A es mejor que B
• B es mejor que C

Entonces podemos afirmar, por el supuesto de transitividad que A es mejor que C.

Si no se cumple este orden de preferencia, entonces no podemos indicar que exista transitividad. Así pues, puede ocurrir que se prefiera A frente a B y B frente a C, pero no A frente a C. Por ejemplo:

• A = Donuts
• B = Hamburguesa
• C = Chocolate

Prefiero comer donuts (A) antes que comer hamburguesa (B). Además, prefiero comer hamburguesa (B) antes que comer chocolate (C). Pero, si me das a elegir entre donut (A) y chocolate (C) prefiero el chocolate (C).

Es un caso aparentemente paradójico, pero podría ocurrir.

Vamos a ver, el caso de una votación en la que hay tres opciones: A, B y C. Las opciones están ordenadas de izquierda a derecha por orden de preferencia. De tal modo que:

• José = A > B > C
• Paula = C > A > B
• María = B > C > A

Con este cuadro, comparando dos a dos las opciones, podríamos llegar a las siguientes conclusiones:

• A frente a B: Si comparamos A frente a B, vemos que A está por delante de B en dos ocasiones (José y Paula) y B solo una vez frente a A (María). Así diríamos que la opción A es preferida a B.
• A frente a C: Dado que A es preferida a B, vamos a comprobar qué ocurre cuando la comparamos con C. C está por delante de A en dos ocasiones (Paula y María) y A solo una vez frente a C (José). Por tanto C, sería la opción ganadora.

Ahora vamos a cambiar el orden de la votación:

• A frente a C: Como ya hemos visto ganaría C.
• C frente a B: Dado que C es preferida a A, vamos a comprobar qué ocurre cuando la comparamos con B. B está por delante de C en dos ocasiones (José y María) y B solo una vez frente a C (Paula). Por tanto B, sería la ganadora.

Cambiaremos el orden una vez más:

• C frente a B: Como ya hemos visto ganaría B.
• A frente a B: Dado que B es preferida a C, vamos a comprobar qué ocurre cuando la comparamos con A. Vemos que A está por delante de B en dos ocasiones (José y Paula) y B solo una vez frente a A (María). Así diríamos que la opción A es la opción ganadora.

En este ejemplo, hemos podido comprobar como dependiendo el orden de la votación dos a dos, el ganador puede ser A, B o C. A esto es a lo que se conoce como paradoja de Condorcet. Los individuos tienen muy claras sus preferencias, pero colectivamente los resultados son confusos.