Probabilidad a posteriori

La probabilidad a posteriori es, entonces, la que no se estima con base en conjeturas o algún conocimiento previo respecto a la distribución de una probabilidad, como en la probabilidad a priori.

Para entenderlo mejor, veamos un ejemplo.

Supongamos que una empresa está desarrollando un nuevo producto de aseo, por ejemplo, un champú. Así pues, la empresa evalúa a un grupo de voluntarios para saber si algún porcentaje de ellos desarrolla caspa tras usar el producto.

De ese modo, se obtiene, por ejemplo, que la probabilidad a posteriori de que un hombre adulto desarrolle caspa al probar ese nuevo producto es del 2%.

En cambio, un ejemplo de probabilidad a priori se produce cuando, antes de lanzar un dado, asumimos que existe la misma probabilidad de que salga cualquiera de los seis números como resultado, es decir, 1/6.

Para resolver ejercicios con probabilidades a posteriori se suele recurrir al teorema de Bayes, cuya fórmula es la siguiente:

En la fórmula de arriba, B es el suceso sobre el que tenemos información y A(n) son los distintos sucesos condicionados. Es decir, en el numerador tenemos la probabilidad condicional, que es aquella posibilidad de que ocurra un evento B dado que ha tenido lugar otro evento A_n. Mientras que en el denominador observamos la suma de los sucesos condicionados, lo que daría igual a la probabilidad total de ocurrencia del suceso B, asumiendo que no se deja de lado ninguno de los sucesos condicionados posibles.

Mejor veamos, en el siguiente apartado, un ejemplo para que se entienda mejor.

Supongamos que tenemos 4 aulas que han sido evaluadas con un mismo examen.

En el primer grupo o aula, al que denominamos A, el 60% de los alumnos aprobó la evaluación, mientras que en el resto de aulas, que denominaremos B, C y D, el porcentaje de aprobados fue de 50%, 56% y 64%, respectivamente. Estas serían probabilidades a posteriori.

Otro dato a tener en cuenta es que las aulas A y B tienen 30 alumnos, mientras que las aulas C y D tienen 25, cada una. Entonces, si elegimos, entre los exámenes de los cuatro grupos, una evaluación al azar y resulta tener nota aprobatoria ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca al aula A?

Para su cálculo, aplicaremos el teorema de Bayes, siendo A_n el suceso condicionado de que el examen pertenezca a un alumno del aula A y B el hecho de que la nota sea aprobatoria:

P[A_n/B]=(0,6*30/110)/((0,6)*(30/110)+(0,5)*(30/110)+(0,56)*(25/110)+(0,64)*(25/110))

P[A_n/B]=0,1636/0,5727=0,2857

Cabe destacar que dividimos la cantidad de alumnos del aula X entre el total de alumnos de los cuatro grupos para conocer la probabilidad de que el alumno sea del aula X.

El resultado nos dice que existe una probabilidad de 28,57%, aproximadamente, de que, si elegimos un examen al azar y tiene nota aprobatoria, sea del aula A.