El teorema de Bayes es utilizado para calcular la probabilidad de un suceso, teniendo información de antemano sobre ese suceso.
Podemos calcular la probabilidad de un suceso A, sabiendo además que ese A cumple cierta característica que condiciona su probabilidad. El teorema de Bayes entiende la probabilidad de forma inversa al teorema de la probabilidad total. El teorema de la probabilidad total hace inferencia sobre un suceso B, a partir de los resultados de los sucesos A. Por su parte, Bayes calcula la probabilidad de A condicionado a B.
El teorema de Bayes ha sido muy cuestionado. Lo cual se ha debido, principalmente, a su mala aplicación. Ya que, mientras se cumplan los supuestos de sucesos disjuntos y exhaustivos, el teorema es totalmente válido.
Fórmula del teorema de Bayes
Para calcular la probabilidad tal como la definió Bayes en este tipo de sucesos, necesitamos una fórmula. La fórmula se define matemáticamente como:
Donde B es el suceso sobre el que tenemos información previa y A(n) son los distintos sucesos condicionados. En la parte del numerador tenemos la probabilidad condicionada, y en la parte de abajo la probabilidad total. En cualquier caso, aunque la fórmula parezca un poco abstracta, es muy sencilla. Para demostrarlo, utilizaremos un ejemplo en el que en lugar de A(1), A(2) y A(3), utilizaremos directamente A, B y C.
Ejemplo del teorema de Bayes
Una empresa tiene una fábrica en Estados Unidos que dispone de tres máquinas A, B y C, que producen envases para botellas de agua. Se sabe que la máquina A produce un 40% de la cantidad total, la máquina B un 30% , y la máquina C un 30%. También se sabe que cada máquina produce envases defectuosos. De tal manera que la máquina A produce un 2% de envases defectuosos sobre el total de su producción, la máquina B un 3%, y la máquina C un 5%. Dicho esto, se plantean dos cuestiones:
P(A) = 0,40 P(D/A) = 0,02
P(B) = 0,30 P(D/B) = 0,03
P(C) = 0,30 P(D/C) = 0,05
1.Si un envase ha sido fabricado por la fábrica de esta empresa en Estados Unidos ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?
Se calcula la probabilidad total. Ya que, a partir los diferentes sucesos, calculamos la probabilidad de que sea defectuoso.
P(D) =[ P(A) x P(D/A) ] + [ P(B) x P(D/B) ] + [ P(C) x P(D/C) ] = [ 0,4 x 0,02 ] + [ 0,3 x 0,03 ] + [ 0,3 x 0,05 ] = 0,032
Expresado en porcentaje, diríamos que la probabilidad de que un envase fabricado por la fábrica de esta empresa en Estados Unidos sea defectuoso es del 3,2%.
2. Siguiendo con la pregunta anterior, si se adquiere un envase y este es defectuoso ¿Cuáles es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina A?¿Y por la máquina B?¿Y por la máquina C?
Aquí se utiliza el teorema de Bayes. Tenemos información previa, es decir, sabemos que el envase es defectuoso. Claro que, sabiendo que es defectuoso, queremos saber cual es la probabilidad de que se haya producido por una de las máquinas.
P(A/D) = [P(A) x P(D/A)] / P(D) = [0,40 x 0,02] / 0,032 = 0,25
P(B/D) = [P(B) x P(D/B)] / P(D) = [0,30 x 0,03] / 0,032 = 0,28
P(C/D) = [P(C) x P(D/C)] / P(D) = [0,30 x 0,05] / 0,032 = 0,47
Sabiendo que un envase es defectuoso, la probabilidad de que haya sido producido por la máquina A es del 25%, de que haya sido producido por la máquina B es del 28% y de que haya sido producido por la máquina C es del 47%.
Muchas gracias por el aporte, al parecer esta mal en la parte ( A produce un 40% de la cantidad total, la máquina B un 30% , y la máquina C un 20%) en el C creo que debio ser 30%. por que cuando dividiste entre 100 pusiste en P(C)=0.30, de ahi en fuera todo excelente muy buen explicado.
Muchas gracias por avisar.
Ya está corregido. Un saludo
gracias x esto fue de mucha ayuda para mi examen
Gracias a ti por visitarnos y compartir tu experiencia en este artículo 😀
Muchas gracias, me sirvió demasiado para mi proyecto de prepa 🙂
Qué bueno, si necesitas ayudas no dudes en consultarnos. Gracias por el apoyo.
Hola José Francisco,
No estoy del todo de acuerdo en como has hablado de la fórmula del teorema de Bayes. Es importante decir que los sucesos A(i) forman parte de una partición, es decir, la unión de todos ellos es igual al espacio muestral. Además, los sucesos A(i) son mútuamente excluyentes, es decir, de intersección vacía.
Por otro lado, dices que en la parte de abajo tenemos la 'probabilidad total'. Lo que tenemos en el denominador es la probabilidad de B, P(B), que, gracias a la fórmula de la probabilidad total, es igual a lo que has escrito. Tampoco definiría a los sucesos A(i) como los distintos sucesos condicionados, porque genera confusión con la probabilidad P(A(n)|B).
Espero que haya podido ser claro y que te ayude en tu web.
Muchas gracias Francesc,
Hemos tomado nota y hemos realizado algunos cambios en el artículo.
Saludos de parte del equipo de Economipedia.
Gracias por la explicación, me sirvió de mucha ayuda en mi exámen.
E recomendado la pagina la mayoria de ING. en computación de la UAEM, tiene buenos artículos, por lo cual pido que suba mas sobre los temas estadísticos y si pudiera sobre ecuaciones diferenciales
Hola Rodolfo,
¡ Qué bueno ! Mil gracias, estamos trabajando en ello. Estamos subiendo contenido estadístico.
¡ Un saludo !
Buenas tardes… seria tan amable pones mas ejercicios de este tema. para poder desarrollar. excelente.
Fue muy útil, muchas gracias. 🙂
Buenas tardes. Alguien sabe como se resuelve este ejercicio? Creo que el resultado es 16%, pero no se cómo se desarrolla.
Se sabe que en determinado período invernal el 30% de la población escolar que no se vacuna, contrae gripe. Una campaña de vacunación alcanza una cobertura del 70% de esta población. Si de los vacunados, solo el 10% contrae gripe ¿Cuál es la probabilidad de que un escolar contraiga gripe?
Hola. saben como se resuelve esto paso por paso?
No entiendo como se hace. Saludos.
Hola,
Tendríamos dos grupos:
Los que no se vacunan y contraen gripe: 30%*30%= 9%
Los que se vacunan y contraen gripe: 10%*70%= 7%
9% + 7% =16%
Efectivamente, el resultado es 16%. Gracias por comentar.
Saludos
Muchas gracias por la explicación…por favor podrían realizar mas ejercicios respecto al Teorema de Bayes, me seria de gran ayuda…
en que lugar fue publicada
Hola Elieth,
Economipedia tiene redactores en varios países alrededor del mundo. Las publicaciones, por tanto, no corresponden a ningún país en concreto.
Saludos y gracias por comentar.
Muchas gracias, muy didáctico
Re bien explicado, lo entendí mejor que en clases. Muchas gracias
Definitivamente es una página excelente seria y fácil de comprender. Tenía muchísimos años que no llevaba matemáticas en ninguna de sus aristas, Y SU PÁGINA SIGUE RESPONDIÉNDOME A CADA INTERROGANTE QUE TENGO… Verdaderamente SON EXCELENTES… SIN DECIR MÁS. MUCHAS GRACIAS Y MUCHAS FELICIDADES…
LA MEJOR DE LAS PÁGINAS…
Muy claro y precisó, gracias
Lo entendí tan bien que hasta podría explicarlo facilmente.
Gracias