El teorema de Bayes es utilizado para calcular la probabilidad de un suceso, teniendo información de antemano sobre ese suceso.
Podemos calcular la probabilidad de un suceso A, sabiendo además que ese A cumple cierta característica que condiciona su probabilidad. El teorema de Bayes entiende la probabilidad de forma inversa al teorema de la probabilidad total. El teorema de la probabilidad total hace inferencia sobre un suceso B, a partir de los resultados de los sucesos A. Por su parte, Bayes calcula la probabilidad de A condicionado a B.
El teorema de Bayes ha sido muy cuestionado. Lo cual se ha debido, principalmente, a su mala aplicación. Ya que, mientras se cumplan los supuestos de sucesos disjuntos y exhaustivos, el teorema es totalmente válido.
Fórmula del teorema de Bayes
Para calcular la probabilidad tal como la definió Bayes en este tipo de sucesos, necesitamos una fórmula. La fórmula se define matemáticamente como:
Donde B es el suceso sobre el que tenemos información previa y A(n) son los distintos sucesos condicionados. En la parte del numerador tenemos la probabilidad condicionada, y en la parte de abajo la probabilidad total. En cualquier caso, aunque la fórmula parezca un poco abstracta, es muy sencilla. Para demostrarlo, utilizaremos un ejemplo en el que en lugar de A(1), A(2) y A(3), utilizaremos directamente A, B y C.
Ejemplo del teorema de Bayes
Una empresa tiene una fábrica en Estados Unidos que dispone de tres máquinas A, B y C, que producen envases para botellas de agua. Se sabe que la máquina A produce un 40% de la cantidad total, la máquina B un 30% , y la máquina C un 30%. También se sabe que cada máquina produce envases defectuosos. De tal manera que la máquina A produce un 2% de envases defectuosos sobre el total de su producción, la máquina B un 3%, y la máquina C un 5%. Dicho esto, se plantean dos cuestiones:
P(A) = 0,40 P(D/A) = 0,02
P(B) = 0,30 P(D/B) = 0,03
P(C) = 0,30 P(D/C) = 0,05
1.Si un envase ha sido fabricado por la fábrica de esta empresa en Estados Unidos ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?
Se calcula la probabilidad total. Ya que, a partir los diferentes sucesos, calculamos la probabilidad de que sea defectuoso.
P(D) =[ P(A) x P(D/A) ] + [ P(B) x P(D/B) ] + [ P(C) x P(D/C) ] = [ 0,4 x 0,02 ] + [ 0,3 x 0,03 ] + [ 0,3 x 0,05 ] = 0,032
Expresado en porcentaje, diríamos que la probabilidad de que un envase fabricado por la fábrica de esta empresa en Estados Unidos sea defectuoso es del 3,2%.
2. Siguiendo con la pregunta anterior, si se adquiere un envase y este es defectuoso ¿Cuáles es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina A?¿Y por la máquina B?¿Y por la máquina C?
Aquí se utiliza el teorema de Bayes. Tenemos información previa, es decir, sabemos que el envase es defectuoso. Claro que, sabiendo que es defectuoso, queremos saber cual es la probabilidad de que se haya producido por una de las máquinas.
P(A/D) = [P(A) x P(D/A)] / P(D) = [0,40 x 0,02] / 0,032 = 0,25
P(B/D) = [P(B) x P(D/B)] / P(D) = [0,30 x 0,03] / 0,032 = 0,28
P(C/D) = [P(C) x P(D/C)] / P(D) = [0,30 x 0,05] / 0,032 = 0,47
Sabiendo que un envase es defectuoso, la probabilidad de que haya sido producido por la máquina A es del 25%, de que haya sido producido por la máquina B es del 28% y de que haya sido producido por la máquina C es del 47%.
Muchas gracias por el aporte, al parecer esta mal en la parte ( A produce un 40% de la cantidad total, la máquina B un 30% , y la máquina C un 20%) en el C creo que debio ser 30%. por que cuando dividiste entre 100 pusiste en P(C)=0.30, de ahi en fuera todo excelente muy buen explicado.
Muchas gracias por avisar.
Ya está corregido. Un saludo
gracias x esto fue de mucha ayuda para mi examen
Gracias a ti por visitarnos y compartir tu experiencia en este artículo 😀
Muchas gracias, me sirvió demasiado para mi proyecto de prepa 🙂
Qué bueno, si necesitas ayudas no dudes en consultarnos. Gracias por el apoyo.
Hola José Francisco,
No estoy del todo de acuerdo en como has hablado de la fórmula del teorema de Bayes. Es importante decir que los sucesos A(i) forman parte de una partición, es decir, la unión de todos ellos es igual al espacio muestral. Además, los sucesos A(i) son mútuamente excluyentes, es decir, de intersección vacía.
Por otro lado, dices que en la parte de abajo tenemos la 'probabilidad total'. Lo que tenemos en el denominador es la probabilidad de B, P(B), que, gracias a la fórmula de la probabilidad total, es igual a lo que has escrito. Tampoco definiría a los sucesos A(i) como los distintos sucesos condicionados, porque genera confusión con la probabilidad P(A(n)|B).
Espero que haya podido ser claro y que te ayude en tu web.
Muchas gracias Francesc,
Hemos tomado nota y hemos realizado algunos cambios en el artículo.
Saludos de parte del equipo de Economipedia.
Gracias por la explicación, me sirvió de mucha ayuda en mi exámen.
E recomendado la pagina la mayoria de ING. en computación de la UAEM, tiene buenos artículos, por lo cual pido que suba mas sobre los temas estadísticos y si pudiera sobre ecuaciones diferenciales
Hola Rodolfo,
¡ Qué bueno ! Mil gracias, estamos trabajando en ello. Estamos subiendo contenido estadístico.
¡ Un saludo !
Muy útil el artículo, excepto por la falta de información para referencias (fecha de publicación)
Hola José,
Primero que todo muchas gracias por el interés en nuestra publicación. Para disponer de todos los datos necesarios para citar y referenciar, debes completar el registro. A través del siguiente enlace puedes hacerlo: https://economipedia.com/registro
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Un saludo, cualquier duda te atenderemos encantados.
Buenas tardes… seria tan amable pones mas ejercicios de este tema. para poder desarrollar. excelente.
Fue muy útil, muchas gracias. 🙂
Muchas gracias por la explicación…por favor podrían realizar mas ejercicios respecto al Teorema de Bayes, me seria de gran ayuda…