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Teorema de Bayes

José Francisco López
3 min
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El teorema de Bayes es utilizado para calcular la probabilidad de un suceso, teniendo información de antemano sobre ese suceso.

Podemos calcular la probabilidad de un suceso A, sabiendo además que ese A cumple cierta característica que condiciona su probabilidad. El teorema de Bayes entiende la probabilidad de forma inversa al teorema de la probabilidad total. El teorema de la probabilidad total hace inferencia sobre un suceso B, a partir de los resultados de los sucesos A. Por su parte, Bayes calcula la probabilidad de A condicionado a B.

El teorema de Bayes ha sido muy cuestionado. Lo cual se ha debido, principalmente, a su mala aplicación. Ya que, mientras se cumplan los supuestos de sucesos disjuntos y exhaustivos, el teorema es totalmente válido.

Fórmula del teorema de Bayes

Para calcular la probabilidad tal como la definió Bayes en este tipo de sucesos, necesitamos una fórmula. La fórmula se define matemáticamente como:

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Donde B es el suceso sobre el que tenemos información previa y A(n) son los distintos sucesos condicionados. En la parte del numerador tenemos la probabilidad condicionada, y en la parte de abajo la probabilidad total. En cualquier caso, aunque la fórmula parezca un poco abstracta, es muy sencilla. Para demostrarlo, utilizaremos un ejemplo en el que en lugar de A(1), A(2) y A(3), utilizaremos directamente A, B y C.

Ejemplo del teorema de Bayes

Una empresa tiene una fábrica en Estados Unidos que dispone de tres máquinas A, B y C, que producen envases para botellas de agua. Se sabe que la máquina A produce un 40% de la cantidad total, la máquina B un 30%, y la máquina C un 30%. También se sabe que cada máquina produce envases defectuosos. De tal manera que la máquina A produce un 2% de envases defectuosos sobre el total de su producción, la máquina B un 3%, y la máquina C un 5%. Dicho esto, se plantean dos cuestiones:

P(A) = 0,40 P(D/A) = 0,02

P(B) = 0,30 P(D/B) = 0,03

P(C) = 0,30 P(D/C) = 0,05

  1. Si un envase ha sido fabricado por la fábrica de esta empresa en Estados Unidos ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?

Se calcula la probabilidad total. Ya que, a partir los diferentes sucesos, calculamos la probabilidad de que sea defectuoso.

P(D) =[ P(A) x P(D/A) ] + [ P(B) x P(D/B) ] + [ P(C) x P(D/C) ] = [ 0,4 x 0,02 ] + [ 0,3 x 0,03 ] + [ 0,3 x 0,05 ] = 0,032

Expresado en porcentaje, diríamos que la probabilidad de que un envase fabricado por la fábrica de esta empresa en Estados Unidos sea defectuoso es del 3,2%.

2. Siguiendo con la pregunta anterior, si se adquiere un envase y este es defectuoso ¿Cuáles es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina A? ¿Y por la máquina B? ¿Y por la máquina C?

Aquí se utiliza el teorema de Bayes. Tenemos información previa, es decir, sabemos que el envase es defectuoso. Claro que, sabiendo que es defectuoso, queremos saber cuál es la probabilidad de que se haya producido por una de las máquinas.

P(A/D) = [P(A) x P(D/A)] / P(D) = [0,40 x 0,02] / 0,032 = 0,25

P(B/D) = [P(B) x P(D/B)] / P(D) = [0,30 x 0,03] / 0,032 = 0,28

P(C/D) = [P(C) x P(D/C)] / P(D) = [0,30 x 0,05] / 0,032 = 0,47

Sabiendo que un envase es defectuoso, la probabilidad de que haya sido producido por la máquina A es del 25%, de que haya sido producido por la máquina B es del 28% y de que haya sido producido por la máquina C es del 47%.

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José Francisco López, 21 de febrero, 2018
Teorema de Bayes. Economipedia.com

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    Comentarios

    1. El TOMATE

      28 de febrero de 2019 a las 06:16

      Muchas gracias por el aporte, al parecer esta mal en la parte ( A produce un 40% de la cantidad total, la máquina B un 30% , y la máquina C un 20%) en el C creo que debio ser 30%. por que cuando dividiste entre 100 pusiste en P(C)=0.30, de ahi en fuera todo excelente muy buen explicado.

      Accede para responder
      • Jose Francisco Lopez RodriguezJosé Francisco López

        28 de febrero de 2019 a las 13:17

        Muchas gracias por avisar.

        Ya está corregido. Un saludo

        Accede para responder
    2. montserrat rivera

      3 de marzo de 2019 a las 16:49

      gracias x esto fue de mucha ayuda para mi examen

      Accede para responder
      • Jose Francisco Lopez RodriguezJosé Francisco López

        4 de marzo de 2019 a las 21:30

        Gracias a ti por visitarnos y compartir tu experiencia en este artículo 😀

        Accede para responder
    3. Jafet Mena

      20 de mayo de 2019 a las 04:04

      Muchas gracias, me sirvió demasiado para mi proyecto de prepa 🙂

      Accede para responder
      • Jose Francisco Lopez RodriguezJosé Francisco López

        20 de mayo de 2019 a las 20:11

        Qué bueno, si necesitas ayudas no dudes en consultarnos. Gracias por el apoyo.

        Accede para responder
    4. Francesc

      4 de junio de 2019 a las 16:46

      Hola José Francisco,

      No estoy del todo de acuerdo en como has hablado de la fórmula del teorema de Bayes. Es importante decir que los sucesos A(i) forman parte de una partición, es decir, la unión de todos ellos es igual al espacio muestral. Además, los sucesos A(i) son mútuamente excluyentes, es decir, de intersección vacía.

      Por otro lado, dices que en la parte de abajo tenemos la 'probabilidad total'. Lo que tenemos en el denominador es la probabilidad de B, P(B), que, gracias a la fórmula de la probabilidad total, es igual a lo que has escrito. Tampoco definiría a los sucesos A(i) como los distintos sucesos condicionados, porque genera confusión con la probabilidad P(A(n)|B).

      Espero que haya podido ser claro y que te ayude en tu web.

      Accede para responder
      • Logo Economipedia 2018 1Economipedia

        30 de abril de 2020 a las 12:38

        Muchas gracias Francesc,

        Hemos tomado nota y hemos realizado algunos cambios en el artículo.

        Saludos de parte del equipo de Economipedia.

        Accede para responder
    5. Gail Gueits

      23 de septiembre de 2019 a las 11:10

      Gracias por la explicación, me sirvió de mucha ayuda en mi exámen.

      Accede para responder
    6. Rodolfo

      14 de octubre de 2019 a las 00:52

      E recomendado la pagina la mayoria de ING. en computación de la UAEM, tiene buenos artículos, por lo cual pido que suba mas sobre los temas estadísticos y si pudiera sobre ecuaciones diferenciales

      Accede para responder
      • Jose Francisco Lopez RodriguezJosé Francisco López

        28 de noviembre de 2019 a las 20:07

        Hola Rodolfo,

        ¡ Qué bueno ! Mil gracias, estamos trabajando en ello. Estamos subiendo contenido estadístico.

        ¡ Un saludo !

        Accede para responder
    7. CARLOS WILFRIDO AYME AYME

      28 de enero de 2020 a las 18:45

      Buenas tardes… seria tan amable pones mas ejercicios de este tema. para poder desarrollar. excelente.

      Accede para responder
    8. Shadai

      29 de marzo de 2020 a las 23:22

      Fue muy útil, muchas gracias. 🙂

      Accede para responder
    9. seba

      10 de mayo de 2020 a las 01:16

      Buenas tardes. Alguien sabe como se resuelve este ejercicio? Creo que el resultado es 16%, pero no se cómo se desarrolla.

      Se sabe que en determinado período invernal el 30% de la población escolar que no se vacuna, contrae gripe. Una campaña de vacunación alcanza una cobertura del 70% de esta población. Si de los vacunados, solo el 10% contrae gripe ¿Cuál es la probabilidad de que un escolar contraiga gripe?

      Hola. saben como se resuelve esto paso por paso?
      No entiendo como se hace. Saludos.

      Accede para responder
      • GuillermoGuillermo Westreicher

        3 de agosto de 2020 a las 21:25

        Hola,

        Tendríamos dos grupos:

        Los que no se vacunan y contraen gripe: 30%*30%= 9%
        Los que se vacunan y contraen gripe: 10%*70%= 7%

        9% + 7% =16%

        Efectivamente, el resultado es 16%. Gracias por comentar.

        Saludos

        Accede para responder
    10. Ana Milena

      17 de mayo de 2020 a las 00:09

      Muchas gracias por la explicación…por favor podrían realizar mas ejercicios respecto al Teorema de Bayes, me seria de gran ayuda…

      Accede para responder
    11. Elieth Rodríguez Rojas

      6 de agosto de 2020 a las 05:50

      en que lugar fue publicada

      Accede para responder
      • Logo Economipedia 2018 1Economipedia

        20 de agosto de 2020 a las 14:35

        Hola Elieth,

        Economipedia tiene redactores en varios países alrededor del mundo. Las publicaciones, por tanto, no corresponden a ningún país en concreto.

        Saludos y gracias por comentar.

        Accede para responder
    12. Manuel Gutierrez

      15 de octubre de 2020 a las 18:51

      Muchas gracias, muy didáctico

      Accede para responder
    13. Camila

      17 de noviembre de 2020 a las 18:38

      Re bien explicado, lo entendí mejor que en clases. Muchas gracias

      Accede para responder
    14. MANUEL CAMACHO

      28 de febrero de 2021 a las 14:45

      Definitivamente es una página excelente seria y fácil de comprender. Tenía muchísimos años que no llevaba matemáticas en ninguna de sus aristas, Y SU PÁGINA SIGUE RESPONDIÉNDOME A CADA INTERROGANTE QUE TENGO… Verdaderamente SON EXCELENTES… SIN DECIR MÁS. MUCHAS GRACIAS Y MUCHAS FELICIDADES…
      LA MEJOR DE LAS PÁGINAS…

      Accede para responder
    15. RAUL CALDERON ZEPEDA

      11 de marzo de 2021 a las 02:36

      Hola saludos afectuosos

      Muchas gracias por su gran explicación tan clara y con muy buen ejemplo. Excelente su aportación, muchas gracias muy amables.

      Accede para responder
    16. Rigoberto Ortigoza

      8 de junio de 2021 a las 00:06

      Muy claro y precisó, gracias

      Accede para responder
    17. Nahuel

      15 de junio de 2021 a las 00:37

      Lo entendí tan bien que hasta podría explicarlo facilmente.

      Gracias

      Accede para responder

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