El problema de Monty Hall es un problema probabilístico inspirado en el programa de televisión estadounidense Let’s Make a Deal (Hagamos un trato).
El nombre esta inspirado en la persona que se presentaba dicho programa: Monty Hall.
Dicho programa fue emitido entre 1963 y 1986.
Planteamiento del problema de Monty Hall
En el problema de Monty Hall a un participante se le presentan tres puertas con la posibilidad de elegir una de ellas. Dada su elección, podría ganar el premio oculto detrás de la puerta. Por ende, detrás de cada puerta hay una recompensa, en una puerta hay un vehículo y en las otras dos hay una cabra.
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Posterior a que el participante escoja la puerta, el moderador o presentador abre una de las otras dos puertas restantes. Dado que el moderador conoce lo que hay detrás de cada puerta, abre una que esconde una cabra y la muestra al participante.
Posteriormente, se le dan dos opciones: 1) mantener la puerta de su elección o 2) cambiar su elección inicial.
Finalmente, se plantea la pregunta ¿es mejor para el participante cambiar o mantener su elección?
Solución al problema de Monty Hall
La solución más simple al problema de Monty Hall es intuitiva. La probabilidad de elegir la puerta con el vehículo como premio es 1 de 3 (⅓). Mientras, las posibilidades de perder es de ⅔.
Es decir, si mantiene su elección inicial mantiene ⅓ de probabilidades de acierto. Por otra parte, si cambia su elección la probabilidad de ganar el vehículo aumenta a ⅔.
Por lo tanto, el problema de Monty Hall muestra que el participante debe cambiar de elección para maximizar sus probabilidades de escoger el coche.
Esta situación se puede observar en el siguiente diagrama de árbol. La probabilidad total se halla con la multiplicación de la probabilidad de cada segmento. Asimismo, al final se suman las probabilidad de acertar o no acertar cambiando de puerta. Por ejemplo, cuando el premio está en la puerta 1 y elegimos una diferente (2 o 3), en ambos casos se gana cambiando de opción. Por consiguiente, equivocándose la primera vez (que es la opción más probable) aumenta sus probabilidades de ganar cambiando de elección. Mientras, si elige mantener su opción inicial, las probabilidades de ganar son iguales que al principio: ⅓.
También existen métodos matemáticos y estadísticos más refinados que demuestran que este resultado se mantiene. Esto es así, incluso cuando se replica el experimento aumentando el número de puertas.
¿Por qué podemos pensar que mantener la primera opción es la respuesta correcta?
Algunas de las razones que hacen que algunas personas no elijan la mejor solución son:
- Obvian que los sucesos no son independientes: Esto sucede por un fallo en la interpretación del planteamiento. En este caso, se ignora que la acción del moderador de abrir una puerta depende de la elección inicial del participante.
- Asignación incorrecta de probabilidades: La acción del moderador cambia las probabilidades iniciales. Luego de la apertura de la puerta, esa puerta tiene una probabilidad de 0 de contener el vehículo. Por tanto, el participante tiene ahora un 50% de probabilidades de elegir el coche o la cabra en las puertas restantes.
