Rango de una matriz

El rango de una matriz cualquiera es la dimensión de la mayor submatriz cuadrada no nula o el número de filas o de columnas que son linealmente independientes. 

En otras palabras, el rango de una matriz es el número de filas o de columnas que tiene la mayor submatriz cuadrada no nula que podemos formar y está ligado con los determinantes y con el método de Gauss.

Vamos a necesitar saber encontrar el rango de una matriz en situaciones en las que tengamos que discutir un sistema de ecuaciones, entre otras aplicaciones. 

Métodos para calcular el rango de una matriz

Encontrar el rango de una matriz puede hacerse por estos dos métodos: 

• Rango por método de determinantes: Se calcula el rango a partir del determinante de la mayor submatriz cuadrada de una matriz. Es importante recordar que la submatriz siempre tendrá que tener el mismo número de filas y de columnas. Por tanto, será una matriz cuadrada, para poder calcular su determinante.
• Rango por método de Gauss: Se calcula el rango a partir de eliminar todas las filas o columnas linealmente dependientes. Las transformaciones lineales que se aplican al sistema de ecuaciones no modifican el rango de la matriz original.

Rango de una matriz por determinantes

A continuación, un esquema para encontrar el rango dada una matriz: 

Procedimiento 

Para conocer el rango de una matriz por determinantes, primero tenemos que filtrar las filas o las columnas de la matriz que queremos utilizar para el cálculo. Estos criterios son los mismos para el método de Gauss. 

Filtrar las filas/columnas

1. Las filas o columnas de la matriz a descartar serían las que: 

• Sean proporcionales. 
• Sean iguales.
• Todos sus elementos sean 0. 
• Sean una combinación lineal de otras filas.

2. Una vez descartadas las filas o columnas que tienen las anteriores características, tenemos que escoger la mayor submatriz. Cuando se habla de mayor submatriz, se está haciendo referencia a las dimensiones. Por ejemplo, si queremos saber el rango de una matriz 3×3 mediante el método de determinantes, la mayor dimensión de cualquier submatriz será 2×2. Recordemos que una vez seleccionada la mayor submatriz, se tendrá que calcular el determinante de esta. Por tanto, tiene que ser una matriz cuadrada y el número que viene antes de 3 es 2. Por esto, la mayor submatriz que se puede formar en una matriz 3×3 es de 2×2.

Determinante y reglas lógicas

3. Seleccionada ya la mayor submatriz, se calcula el determinante y se aplican las siguientes reglas lógicas para conocer su rango:

• Si más de 1 elemento de la matriz original es distinto de 0 => Determinante será distinto de 0 => Rango matriz original será mínimo 1.
• Si la dimensión de la submatriz es 2×2 y el determinante de la submatriz es distinto de 0 => Rango matriz original será 2.
• Si la dimensión de la submatriz es 3×3 y el determinante de la submatriz es distinto de 0 => Rango matriz original será 3.

Resumen

La regla principal para determinar el rango de una matriz es buscar la mayor submatriz y calcular su determinante. Si el determinante es distinto de 0, el rango será el mismo número de filas o columnas que tenga la submatriz. 

Ejemplo

Calcula el rango de la siguiente matriz por el método de determinantes: