Regla de Laplace

La regla de Laplace es un método que permite calcular rápidamente el determinante de una matriz cuadrada con dimensión de 3×3 o mayor mediante una serie de expansión recursiva. 

En otras palabras, la regla de Laplace factoriza la matriz inicial en matrices de menor dimensión y ajusta su signo en función de la posición del elemento en la matriz. 

Este método se puede desarrollar mediante filas o columnas. 

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Fórmula la regla de Laplace

Dada una matriz Z_mxn cualquiera de dimensión mxn,donde m=n, se expande respecto a la i-ésima fila, entonces:

• D_ijes el determinante obtenido de eliminar la i-esima fila y la i-esima columna de Z_mxn. 

• M_ijes el i,j-esimo menor. El determinante D_ijen función de M_ijse denomina el i,j-esimo cofactorde la matriz Z_mxn.
• a es el ajuste de signo de la posición. 

Ejemplo teórico regla de Laplace

Definimos A_3×3 como: 

1. Empecemos por el primer elemento a₁₁. Rallamos las filas y columnas que integren a₁₁. Los elementos que queden sin rallar, será el primer determinante menor multiplicado por a₁₁. 

2. Seguimos con el segundo elemento de la primera fila, es decir, a₁₂. Repetimos el proceso: rallamos las filas y columnas que contengan a₁₂.  

Ajustamos el signo del menor: 

Añadimos el segundo determinante menoral resultado anterior y formamos una serie de expansión tal que: 

3. Continuamos con el tercer elemento de la primera fila, es decir, a₁₃. Repetimos el proceso: rallamos la fila y la columna que contengan a₁₃.  

Añadimos el tercer determinante menor al resultado anterior y ampliamos la serie de expansión tal que:

Dado que ya no quedan más elementos en la primera fila, entonces cerrramos el proceso recursivo. Calculamos los determinantes menores.

De la misma forma que se han empleado elementos de la primera fila, este método también se puede aplicar con las columnas.

Ejemplo práctico regla de Laplace

Definimos A_3×3como: 

1. Empecemos por el primer elemento r₁₁=5. Rallamos las filas y columnas que integren a₁₁=5. Los elementos que queden sin rallar, será el primer determinante menor multiplicado por a₁₁=5.

2. Seguimos con el segundo elemento de la primera fila, es decir, r₁₂=2. Repetimos el proceso: rallamos las filas y columnas que contengan r₁₂=2.  

Ajustamos el signo del menor: 

Añadimos el segundo determinante menor al resultado anterior y formamos una serie de expansión tal que: 

3. Continuamos con el tercer elemento de la primera fila, es decir, r₁₃=3. Repetimos el proceso: rallamos la fila y la columna que contengan r₁₃=3.  

Añadimos el tercer determinante menor al resultado anterior y ampliamos la serie de expansión tal que: 

El determinante de la matriz R_3×3es 25.