Semi-desviación (SD) y Semi-varianza (SV)

En otras palabras, la SD nos busca los peores casos (situaciones donde las observaciones están por debajo de la media) y podemos construir indicadores de riesgo, del inglés, downside risk metrics. 

Si trasladamos la SD a los precios de acciones, las rentabilidades inferiores al valor esperado las consideramos negativas i las rentabilidades superiores al valor esperado las consideramos positivas para nuestra inversión. Nos interesa más controlar las rentabilidades negativas dado que perjudican nuestras ganancias. 

Artículos recomendados: Momentos parciales bajos (MPB).

Definimos la variable Z como una variable aleatoria discreta formada por Z₁,…, Z_N observaciones. Podemos definir la SD como:

Donde E(Z)es el valor esperado (valor medio) de la variable Z. 

La Semi-Varianza (SV) se define de la misma forma:

Aunque SD y SV parezcan conceptos muy parecidos, no deben igualarse ya que

Podemos calcular la SV mediante datos históricos de la siguiente manera:

Podemos calcular la SD mediante datos históricos de la siguiente manera:

Normalmente todos los términos de la fórmula están expresados en términos anuales. Si los datos están expresados en otros términos, tendremos que anualizar los resultados. 

Definimos D como:

• MIN: buscamos el mínimo entre D y 0.  

Si D<0 entonces el resultado es D².

Si D>0 entonces el resultado es 0.

• MAX: buscamos el máximo entre D y 0. 

Si D>0 entonces el resultado es D².

Si D<0 entonces el resultado es 0.

Suponemos que queremos realizar un estudio sobre el grado de dispersión de la cotización de AlpineSkidurante 18 meses (un año y medio). Específicamente, queremos encontrar la dispersión de las observaciones que están por debajo de su valor medio. 

0. Descargamos las cotizaciones i calculamos las rentabilidades continuas.

Diferencia = | min (Z_t – Z’,0)|²

Meses	Rentabilidades (Zt)	Diferencia
ene-17	2,75%	0,00%
feb-17	4,00%	0,00%
mar-17	7,00%	0,00%
abr-17	9,00%	0,00%
may-17	7,00%	0,00%
jun-17	-0,40%	0,11%
jul-17	-2,00%	0,25%
ago-17	-4,00%	0,48%
sept-17	0,20%	0,08%
oct-17	1,50%	0,02%
nov-17	2,00%	0,01%
dic-17	4,50%	0,00%
ene-18	3,75%	0,00%
feb-18	5,50%	0,00%
mar-18	7,00%	0,00%
abr-18	9,00%	0,00%
may-18	-1,50%	0,20%
jun-18	-2,00%	0,25%
Media	2,96%
Sumatorio	1,40%
SV·12	0,009307185
SD·12	9,647%

1. Calculamos:

La Semi-Desviación estándar (SD) anualizada es 9,64%. En otras palabras, el grado de dispersión de las observaciones que son inferiores al valor medio es de 9,64%. La Semi-Varianza (SV) anualizada es 0,0093.