Semi-desviación (SD) y Semi-varianza (SV)

La Semi-Desviación estándar (SD) mide la medida de dispersión de aquellas observaciones que son inferiores al valor esperado de la variable. El objetivo es controlar los resultados que por defecto son inferiores al valor esperado. 

En otras palabras, la SD nos busca los peores casos (situaciones donde las observaciones están por debajo de la media) y podemos construir indicadores de riesgo, del inglés, downside risk metrics. 

Si trasladamos la SD a los precios de acciones, las rentabilidades inferiores al valor esperado las consideramos negativas i las rentabilidades superiores al valor esperado las consideramos positivas para nuestra inversión. Nos interesa más controlar las rentabilidades negativas dado que perjudican nuestras ganancias. 

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Matemáticamente

Definimos la variable Z como una variable aleatoria discreta formada por Z₁,…, Z_N observaciones. Podemos definir la SD como:

Donde E(Z)es el valor esperado (valor medio) de la variable Z. 

La Semi-Varianza (SV) se define de la misma forma:

Aunque SD y SV parezcan conceptos muy parecidos, no deben igualarse ya que

Podemos calcular la SV mediante datos históricos de la siguiente manera:

Podemos calcular la SD mediante datos históricos de la siguiente manera:

Normalmente todos los términos de la fórmula están expresados en términos anuales. Si los datos están expresados en otros términos, tendremos que anualizar los resultados. 

Interpretación

Definimos D como:

• MIN: buscamos el mínimo entre D y 0.  

Si D<0 entonces el resultado es D².

Si D>0 entonces el resultado es 0.

• MAX: buscamos el máximo entre D y 0. 

Si D>0 entonces el resultado es D².

Si D<0 entonces el resultado es 0.

Ejemplo Práctico

Suponemos que queremos realizar un estudio sobre el grado de dispersión de la cotización de AlpineSkidurante 18 meses (un año y medio). Específicamente, queremos encontrar la dispersión de las observaciones que están por debajo de su valor medio. 

Procedimiento

0. Descargamos las cotizaciones i calculamos las rentabilidades continuas.

Diferencia = | min (Z_t – Z’,0)|²

1. Calculamos:

Resultado

La Semi-Desviación estándar (SD) anualizada es 9,64%. En otras palabras, el grado de dispersión de las observaciones que son inferiores al valor medio es de 9,64%. La Semi-Varianza (SV) anualizada es 0,0093.