Transformación lineal de matrices

La transformación lineal de matrices son operaciones lineales mediante matrices que modifican la dimensión inicial de un vector dado.

En otras palabras, podemos modificar la dimensión de un vector multiplicándolo por una matriz cualquiera.    

Las transformaciones lineales son la base de los vectores y valores propios de una matriz dado que dependen linealmente unos de otros. 

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Matemáticamente

Definimos una matriz C cualquiera de dimensión 3×2 multiplicada por un vector V de dimensión n=2 tal que V=(v₁,v₂).

¿De qué dimensión será el vector resultado?

El vector resultado del producto de la matriz C_3×2con el vector V_2×1será un nuevo vector V’ de dimensión 3.

Este cambio de dimensión del vector es debido a la transformación lineal mediante la matriz C.

Ejemplo práctico 

Dada la matriz cuadrada R con dimensión 2×2 y el vector V de dimensión 2.

Una transformación lineal de la dimensión del vector V es:

donde la dimensión inicial del vector V era 2×1 y ahora la dimensión final del vector V es3×1. Este cambio de dimensión se consigue mediante la multiplicación de la matriz R.

¿Estas transformaciones lineales pueden representarse gráficamente? ¡Pues claro!

Representaremos el vector resultado V’ en un plano. 

Entonces:

V = (2,1) 

V’ = (6,4)

Gráficamente

Vectores propios mediante representación gráfica

¿Cómo podemos determinar que un vector es un vector propio de una matriz dada con tan solo mirando la gráfica?

Definimos la matriz D de dimensión 2×2:

¿Son los vectores v₁=(1,0) y v₂=(2,4) vectores propios de la matriz D?

Procedimiento

1. Empecemos por el primer vector v₁. Hacemos la transformación lineal anterior:

Entonces, si realmente el vector v₁ es vector propio de la matriz D, el vector resultante v₁’ y vector v₁deberían pertenecer a la misma recta.

Representamos v₁ = (1,0) y v₁’ = (3,0).

Dado que tanto v₁como v₁’ pertenecen a la misma línea, v₁ es un vector propio de la matriz D.

Matemáticamente, existe una constante h(valor propio) tal que:

2. Seguimos con el segundo vector v₂. Repetimos la transformación lineal anterior:

Entonces, si realmente el vector v₂ es vector propio de la matriz D, el vector resultante v₂’ y el vector v₂ deberían pertenecer a la misma recta (como la gráfica anterior). 

Representamos v₂ = (2,4) y v₂’ = (2,24).

Dado que v₂ y v₂’ no pertenecen a la misma línea, v₂ no es un vector propio de la matriz D. 

Matemáticamente, no existe una constante h(valor propio) tal que: