Transformación lineal de matrices

En otras palabras, podemos modificar la dimensión de un vector multiplicándolo por una matriz cualquiera.    

Las transformaciones lineales son la base de los vectores y valores propios de una matriz dado que dependen linealmente unos de otros. 

Artículos recomendados: operaciones con matrices, vectores y valores propios.

Definimos una matriz C cualquiera de dimensión 3×2 multiplicada por un vector V de dimensión n=2 tal que V=(v₁,v₂).

¿De qué dimensión será el vector resultado?

El vector resultado del producto de la matriz C_3×2con el vector V_2×1será un nuevo vector V’ de dimensión 3.

Este cambio de dimensión del vector es debido a la transformación lineal mediante la matriz C.

Dada la matriz cuadrada R con dimensión 2×2 y el vector V de dimensión 2.

Una transformación lineal de la dimensión del vector V es:

donde la dimensión inicial del vector V era 2×1 y ahora la dimensión final del vector V es3×1. Este cambio de dimensión se consigue mediante la multiplicación de la matriz R.

¿Estas transformaciones lineales pueden representarse gráficamente? ¡Pues claro!

Representaremos el vector resultado V’ en un plano. 

Entonces:

V = (2,1) 

V’ = (6,4)

¿Cómo podemos determinar que un vector es un vector propio de una matriz dada con tan solo mirando la gráfica?

Definimos la matriz D de dimensión 2×2:

¿Son los vectores v₁=(1,0) y v₂=(2,4) vectores propios de la matriz D?

1. Empecemos por el primer vector v₁. Hacemos la transformación lineal anterior:

Entonces, si realmente el vector v₁ es vector propio de la matriz D, el vector resultante v₁’ y vector v₁deberían pertenecer a la misma recta.

Representamos v₁ = (1,0) y v₁’ = (3,0).

Dado que tanto v₁como v₁’ pertenecen a la misma línea, v₁ es un vector propio de la matriz D.

Matemáticamente, existe una constante h(valor propio) tal que:

2. Seguimos con el segundo vector v₂. Repetimos la transformación lineal anterior:

Entonces, si realmente el vector v₂ es vector propio de la matriz D, el vector resultante v₂’ y el vector v₂ deberían pertenecer a la misma recta (como la gráfica anterior). 

Representamos v₂ = (2,4) y v₂’ = (2,24).

Dado que v₂ y v₂’ no pertenecen a la misma línea, v₂ no es un vector propio de la matriz D. 

Matemáticamente, no existe una constante h(valor propio) tal que: