Combinación lineal de vectores
Una combinación lineal de vectores se produce cuando se puede expresar un vector en función lineal de otros vectores los cuales son linealmente independientes.
En otras palabras, la combinación lineal de vectores es que un vector se puede expresar como una combinación lineal de otros vectores linealmente independientes entre ellos.
Requisitos para la combinación lineal de vectores
La combinación lineal de vectores debe cumplir dos requisitos:
- Que un vector pueda expresarse como combinación lineal de otros vectores.
- Que estos otros vectores sean linealmente independientes entre sí.
Combinación lineal en cálculo
En las matemáticas básicas estamos acostumbrados a ver frecuentemente combinaciones lineales sin darnos cuenta. Por ejemplo, una recta es una combinación de una variable respecto la otra, tal que:
Pero las raíces, los logaritmos, las funciones exponenciales…ya no son combinaciones lineales dado que las proporciones no se mantienen constantes para toda la función:
Entonces, si estamos hablando de combinación lineal de vectores, la estructura de la ecuación tendrá la siguiente forma:
Como estamos hablando de vectores y la ecuación anterior hace referencia a variables, para construir la combinación de vectores solo tenemos que sustituir las variables por vectores. Sean los vectores siguientes:
Entonces, podemos escribirlos como combinación lineal de la siguiente forma:
Siendo los vectores linealmente independientes entre sí.
La letra griega lambda actúa como el parámetro m en la ecuación general de la recta. Lambda será cualquier número real y, en el caso que no aparezca, se dice que su valor es igual a 1.
Que los vectores sean linealmente independientes quiere decir que ninguno de los vectores puede expresarse como combinación lineal de los demás. Se conoce que los vectores independientes forman una base del espacio y el vector dependiente también pertenece a dicho espacio.
Ejemplo paralelepípedo
Suponemos que tenemos tres vectores y queremos expresarlos como una combinación lineal. También sabemos que cada vector sale de un mismo vértice y constituyen las abscisas de ese vértice. La figura geométrica es un paralelepípedo. Dado que nos informan que la figura geométrica que forman estos vectores son las abscisas de un paralelepípedo, entonces, los vectores delimitan las caras de la figura.
Primero, tenemos que saber si los vectores son linealmente dependientes. Si los vectores son linealmente dependientes, entonces no podremos formar una combinación lineal a partir de ellos.
Tres vectores:
¿Cómo podemos saber si los vectores son linealmente dependientes si no nos dan información sobre sus coordenadas?
Pues haciendo uso de la lógica. Si los vectores fueran linealmente dependientes, entonces, todas las caras del paralelepípedo colapsarían. En otras palabras, serían la misma.
Por tanto, podemos expresar un nuevo vector w como resultado de la combinación lineal de los vectores anteriores:
Vector que representa la combinación de los vectores anteriores:
Gráficamente:
