Combinatoria sin repetición

Se entiende por combinatoria sin repetición, a los diferentes conjuntos que se pueden formar con «n» elementos, seleccionados de x en x. Cada conjunto se debe diferenciar del anterior en al menos uno de sus elementos (el orden no importa) y estos no se pueden repetir.

La combinatoria sin repetición es de uso común en estadística y matemáticas. Esta se ajusta a muchas situaciones de la vida real y su aplicación es bastante sencilla.

Pensemos por ejemplo en un alumno que tiene un examen de 4 preguntas. De las 4 preguntas ha de elegir tres ¿Cuántas combinaciones distintas podría realizar el alumno? Si razonamos un poco veríamos (sin llegar a aplicar la fórmula) que el alumno podría elegir cómo contestar a las 3 preguntas de cuatro formas distintas.

• Conjunto/opción 1: Contestar las preguntas 1,2,3.
• Conjunto/opción 2: Contestar las preguntas 1,2,4.
• Conjunto/opción 3: Contestar las preguntas 1,3,4.
• Conjunto/opción 4: Contestar las preguntas 2,3,4.

Como vemos, el alumno puede formar 4 conjuntos (n) de 3 elementos (x). Por lo tanto, la combinatoria sin repetición nos dice cómo formar o agrupar una cantidad de datos/observaciones finita, en grupos de una cantidad determinada sin que ninguno de los elementos pueda repetirse en cada grupo.  Esta es la principal diferencia entre la combinatoria con repetición (se pueden repetir los elementos en cada grupo) y la combinatoria sin repetición (no se puede repetir ningún elemento en cada grupo)

A resaltar en este ejemplo, que es un caso de combinatoria sin repetición, dado que el alumno no puede elegir hacer alguna de las preguntas más de una vez. Por tanto los elementos de los conjuntos, no se pueden repetir.

En el caso anterior, dado que el número total de elementos es pequeño y la cantidad del conjunto es elevada, la cantidad de opciones es pequeña y se puede deducir de manera sencilla sin aplicar la formula. En el caso de aplicar la formula directamente, el numerador sería 24 (4*3*2*1) y el denominador sería 6 (3*2*1*1) con lo que llegaríamos al cálculo de igual manera sin pensar en como podríamos agrupar esas cuatro preguntas en conjuntos de tres.

¿Cómo calcular la combinatoria sin repetición?

La fórmula de la combinatoria sin repetición es:

Donde:

• n = Observaciones totales
• x = Número de elementos seleccionados

Ejemplo de combinatoria sin repetición

Imaginemos un pelotón militar de 12 soldados. El capitán del ejército quiere formar grupos de 2 soldados para que se infiltren tras las líneas enemigas por distintos puntos, ¿cuántos grupos distintos podría formar?

Para resolver el problema, en primer lugar tenemos que identificar el número total de elementos. En este caso son 12 soldados en total, por tanto ya tenemos nuestra n. Como el capitán quiere grupos de 2, ya sabemos cual es nuestra x. Sabiendo esto, podríamos sustituir en la fórmula y tener el número de combinaciones de grupos de 2.

• n = 12
• x  = 2

Al sustituir:

Aplicando el factorial para el denominador, tendríamos 12*11*10*…*1 = 479.001.600. Para el denominador tenemos 2*1*10*9*8…*1 = 7.257.600. Nuestro número combinatorio es =479.001.600/7.257.600 = 66.

Como vemos, el capitán puede formar 66 parejas distintas de soldados de entre los 12 que dispone.