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Francisco Javier Marco Sanjuán

Redactor en Economipedia. Graduado en economía por la Universidad de Murcia (España), máster en finanzas en la misma universidad. Francisco es especialista en gestión de carteras por el IEB (España), CFA y CWMA. Cuenta con cerca de 10 años de experiencia en mercados financieros y actualmente es Advisor en la banca privada de Santander en Suiza. Gran apasionado de la economía y los mercados financieros, en especial la renta variable y los derivados. Fanático de la lectura y aprender cosas nuevas. Siempre es bueno estar en constante aprendizaje y adaptarse a los nuevos tiempos.

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Distribución binomial: Qué es, propiedades y ejemplos

¿Qué es la distribución binomial?

La distribución binomial es un modelo estadístico que permite calcular la probabilidad de obtener un número determinado de éxitos en un número fijo de pruebas, donde:

– Cada prueba tiene solo dos posibles resultados (éxito o fracaso).
– La probabilidad de éxito es la misma en cada intento.
– Los intentos son independientes entre sí.

También se la conoce como modelo binomial o probabilidad binomial.

La distribución binomial: Explicación sencilla

Dicho de forma más clara, la distribución binomial nos permite calcular cuántas veces es probable que ocurra un resultado concreto (por ejemplo, sacar cara) cuando repetimos un experimento un número determinado de veces (por ejemplo, lanzar una moneda varias veces).

🎯 Ejemplo común: ¿Qué probabilidad hay de sacar cara 3 veces si lanzo una moneda 5 veces?

Este modelo es útil en muchas situaciones reales: desde controlar calidad en producción hasta prever resultados de encuestas o experimentos clínicos.

Propiedades de la distribución binomial

Para que una variable aleatoria se considere que sigue una distribución binomial, tiene que cumplir las siguientes propiedades:

  • En cada ensayo, experimento o prueba solo son posibles dos resultados (éxito o fracaso).
  • La probabilidad del éxito ha de ser constante. Esta se representa mediante la letra p. La probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda es 0,5 y esta es constante dado que la moneda no cambia en cada experimento y las probabilidades de sacar cara son constantes.
  • La probabilidad de fracaso ha de ser también constate. Esta se representa mediante la letra q = 1-p. Es importante fijarse que mediante esa ecuación, sabiendo p o sabiendo q, podemos obtener la que nos falte.
  • El resultado obtenido en cada experimento es independiente del anterior. Por lo tanto, lo que ocurra en cada experimento no afecta a los siguientes.
  • Los sucesos son mutuamente excluyentes, es decir, no pueden ocurrir los 2 al mismo tiempo. No se puede ser hombre y mujer al mismo tiempo o que al lanzar una moneda salga cara y cruz al mismo tiempo.
  • Los sucesos son colectivamente exhaustivos, es decir, al menos uno de los 2 ha de ocurrir. Si no se es hombre, se es mujer y, si se lanza una moneda, si no sale cara ha de salir cruz.
  • La variable aleatoria que sigue una distribución binomial se suele representar como X~(n,p), donde n representa el número de ensayos o experimentos y p la probabilidad de éxito.

Formula de la distribución binomial

La fórmula para calcular la distribución normal es:

Donde:

n    = Número de ensayos/experimentos

x    = Número de éxitos

p    = Probabilidad de éxito

q    = Probabilidad de fracaso (1-p)

Es importante resaltar que la expresión entre corchetes no es una expresión matricial, sino que es un resultado de una combinatoria sin repetición. Este se obtiene con la siguiente formula:

El signo de exclamación en la expresión anterior representa el símbolo de factorial.

Ejemplo de distribución binomial

Imaginemos que un 80% de personas en el mundo ha visto el partido de la final del último mundial de fútbol. Tras el evento, 4 amigos se reúnen a conversar, ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos hayan visto el partido?

Definamos las variables del experimento:

n    = 4 (es el total de la muestra que tenemos)

x    = número de éxitos, que en este caso es igual a 3, dado que buscamos la probabilidad de que 3 de los 4 amigos lo hayan visto.

p    = probabilidad de éxito (0,8)

q    = probabilidad de fracaso (0,2). Este resultado se obtiene al restar 1-p.

Tras definir todas nuestras variables, simplemente sustituimos en la formula.

El numerador del factorial se obtendría de multiplicar 4*3*2*1 = 24 y en el denominador tendríamos 3*2*1*1 = 6. Por lo tanto, el resultado del factorial sería 24/6=4.
Fuera del corchete tenemos dos números. El primero sería 0,8^3=0,512 y el segundo 0,2 (dado que 4-3 = 1 y cualquier número elevado a 1 es el mismo).

Por tanto, nuestro resultado final sería: 4*0,512*0,2 = 0,4096. Si multiplicamos por 100 tenemos que hay una probabilidad del 40,96% de que 3 de los 4 amigos haya visto el partido de la final del mundial.

👀 ¿Te suena complicado? No te preocupes: este modelo parece técnico, pero se usa en montones de situaciones cotidianas. Solo necesitas identificar bien cuántos intentos hay, qué consideras «éxito» y cuál es su probabilidad.

Nivel de confianza: qué es y cómo funciona en estadística

¿Qué es el nivel de confianza?

El nivel de confianza, en estadística, es la probabilidad máxima de que un valor estimado esté dentro de un intervalo específico. Si tienes un nivel de confianza del 95%, por ejemplo, hay un 95% de probabilidad de que el valor real esté dentro del rango que has calculado.

Nivel de confianza: Explicación sencilla

Dicho de otra manera, el nivel de confianza nos ayuda a saber qué tan seguros estamos de que los resultados de una estimación son correctos. Nos permite acotar un intervalo donde es probable que se encuentre el valor que estamos buscando.

Es importante entender que en estadística, rara vez podemos estar 100% seguros de un valor exacto. Por eso, trabajamos con intervalos y probabilidades. El nivel de confianza nos indica, en porcentaje, cuán seguros estamos de que el valor real esté dentro del rango que hemos calculado.

El nivel de confianza se define como 1-alfa y sus valores más comunes son 90%, 95% y 99%.

Por ejemplo, observando a simple vista la altura de 10 alumnos en una clase podríamos estimar que la altura está entre 1,70 y 1,75.

Sería difícil saber con un 100% de certeza la altura media si no medimos a cada alumno y hacemos los cálculos. Por el contrario, sí podríamos acotar un intervalo y situar el valor dentro de este.

Pues bien, el nivel de confianza, sería el porcentaje máximo con el que podríamos asegurar que el parámetro real se encuentra dentro del intervalo acotado.

Si tienes un nivel de confianza del 95%, por ejemplo, hay un 95% de probabilidad de que el valor real esté dentro del rango que has calculado.

Nivel de confianza y nivel de significación

El nivel de confianza está directamente relacionado con el nivel de significación. En la expresión 1-alfa, el valor de alfa no es más que el nivel de significación.

El nivel de significación (o alfa) es la probabilidad máxima que asumimos de forma voluntaria de equivocarnos al rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es cierta. En otras palabras, el nivel de significación es el máximo error que queremos cometer en nuestra estimación o contraste.

Dicho así quizá pueda sonar algo confuso pero pensemos que si podemos afirmar con un 95% de probabilidad que nuestro valor estimado estará dentro de nuestro intervalo, el restante 5% será la probabilidad de que el valor estimado, no esté en ese intervalo.

Ejemplo de intervalo de confianza

El estadístico pivote utilizado para el cálculo sería el siguiente:

El intervalo resultante está expresado a continuación:

Si nos fijamos en el intervalo de la izquierda y de la derecha de la desigualdad, podemos notar que tenemos la cota inferior y superior respectivamente. Por tanto, la expresión nos dice que la probabilidad de que la media de la población se se encuentre entre esos dos valores es de 1-alfa (nivel de confianza),

Para entender mejor, vamos a resolver un ejemplo relacionado con el concepto de nivel de confianza.

Imaginemos que queremos realizar una estimación del tiempo medio en el que un corredor recorre una maratón. Para tal fin, hemos cronometrado 10 maratones y hemos obtenido una media de 4 horas con una desviación estándar de 33 minutos (lo que en realidad serían 0,55 horas). Nos proponen obtener un intervalo con un nivel de confianza del 95%.

Dado que lo que queremos es obtener el intervalo, lo que debemos hacer es sustituir las variables en la fórmula que hemos presentado anteriormente:

El intervalo de confianza está representado en la imagen anterior con el color azul. Los dos valores acotados por este son los correspondientes a las dos líneas de color rojo. La línea central es la media de la población.

En conclusión, con nivel de confianza del 95% podemos afirmar que el tiempo medio en el que recorrerá la maratón se encontrará entre 3,7 horas y 4,3 horas.

Mediana

¿Qué es la mediana?

La mediana es un número (estadístico) que divide una lista de valores en dos partes iguales. Esto significa que la mitad de los valores son menores que la mediana y la otra mitad son mayores.

Mediana: Explicación sencilla

Para encontrar la mediana, primero debes ordenar los datos de menor a mayor o de mayor a menor. Es importante que los datos estén en orden.

La mediana es un estadístico útil, junto con la media y la varianza, para entender una distribución. A diferencia de la media, que puede estar sesgada, la mediana siempre está en el centro. La forma de la distribución se llama curtosis, y nos muestra hacia dónde está inclinada la distribución. Ver curtosis.

Fórmula de la mediana

Una vez definida la mediana vamos a pasar a calcularla. Para ello, necesitaremos una fórmula.

La fórmula no nos dará el valor de la mediana, lo que nos dará es la posición en la que está dentro del conjunto de datos. Debemos tener en cuenta, en este sentido, si el número total de datos u observaciones que tenemos (n) es par o impar. De tal forma que la fórmula de la mediana es:

  • Cuando el número de observaciones es par:

Mediana = (n+1) / 2 → Media de las observaciones

  • Cuando el número de observaciones es impar:

Mediana = (n+1) / 2 → Valor de la observación

Es decir, que si tenemos 50 datos ordenados preferiblemente de menor a mayor, la mediana estaría en la observación número 25,5. Esto es el resultado de aplicar la fórmula para un conjunto de datos par (50 es número par) y dividir entre 2. El resultado es 25,5 ya que dividimos entre 50+1. La mediana será la media entre la observación 25 y la 26.

En el próximo epígrafe lo veremos más detenidamente, con ejemplos visuales.

Ejemplo de cálculo

Imaginemos que tenemos los siguientes datos:

2,4,12,6,8,14,16,10,18.

En primer lugar los ordenamos de menor a mayor con lo que tendríamos lo siguiente:

2,4,6,8,10,12,14,16,18.

Pues bien, el valor de la mediana, como indica la fórmula, es aquel que deje la misma cantidad de valores tanto a un lado como a otro. ¿Cuántas observaciones tenemos? 9 observaciones. Calculamos la posición con la fórmula correspondiente.

Mediana = 9+1 / 2 = 5

¿Qué quiere decir este 5? Nos dice que el valor de la mediana, se encuentra en la observación cuya posición es la quinta.

Por lo tanto la mediana de esta sería de datos sería el número 10, ya que está en la posición quinta. Además, podemos comprobar como tanto a la izquierda del 5 hay 4 valores (2, 4, 6 y 8) y a la derecha del 10 hay otros 4 valores (12, 14, 16 y 18).

Otro ejemplo

Imaginemos ahora que tenemos los siguientes números:

1,2,4,2,5,9,8,9.

Si los ordenamos tendríamos lo siguiente:

1,2,2,4,6,8,9,9.

En este caso, la cantidad de observaciones es par. Por tanto, de tener en cuenta las consideraciones para el número de observaciones par. La fórmula nos indica lo siguiente:

Mediana = 8+1 / 2 = 4,5

Claro que pensaréis, ¿cuál es la posición 4,5? O está en la posición 4 o está en la posición 5, pero la 4,5 no existe. Lo que haremos será una media de los valores que están en la posición 4 y 5. Esos números son el 4 y el 6. La media entre estos dos números es 5 [ (4+6) / 2 ].

El valor de la mediana, por tanto, sería 5. El número 5 (nos lo imaginamos) dejaría al lado izquierdo (1, 2, 2 y 4) la misma cantidad de observaciones que al lado derecho (6, 8, 9 y 9).

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