Distribución normal: Qué es, cómo se calcula y ejemplos

¿Qué es la distribución normal?

Es un modelo teórico capaz de aproximar satisfactoriamente el valor de una variable aleatoria a una situación ideal. 

  • La distribución normal es un modelo teórico que aproxima el comportamiento de una variable aleatoria a una situación ideal, utilizando la media y la desviación típica como parámetros clave.
  • Para representar una distribución normal, se necesita una variable aleatoria, calcular su media y desviación típica, y elegir entre función de densidad de probabilidad o función de distribución.
  • La distribución normal se utiliza en diversos campos y es la base para otras distribuciones estadísticas, como la distribución t de Student, la distribución ji-cuadrada y la distribución F de Fisher.
Distribución Normal De Gauss

La distribución normal explicada fácil

La distribución normal es una forma de describir cómo se comportan ciertos datos. Imagina que tienes un conjunto de datos, como los resultados de un examen o las rentabilidades de las acciones en el mercado. Ésta nos ayuda a entenderlos usando dos números claves: la media y la desviación típica.

La media es como el promedio de los datos, mientras que la desviación típica nos dice qué tan dispersos están los datos alrededor de este promedio.

Hay dos tipos de datos que podemos analizar gracias a ella: Uno es el tipo continuo, que puede tomar cualquier valor. Piensa en cosas como las valoraciones de un examen o del coeficiente de inteligencia. El otro tipo es el discreto, que sólo pueden ser números enteros, como por ejemplo el número de estudiantes de una universidad.

La distribución normal es la base de otras distribuciones como la t de Student, la ji-cuadrada, y la F de Fisher entre otras.

Fórmula de la distribución normal

Dada una variable aleatoria X, decimos que la frecuencia de sus observaciones puede aproximarse satisfactoriamente a una distribución normal tal que: 

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Variable aleatoria X

Donde los parámetros de la distribución son la media o valor central y la desviación típica: 

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Parámetros de una distribución normal.

En otras palabras, estamos diciendo que la frecuencia de una variable aleatoria X puede representarse mediante una distribución normal.   

Representación

Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria que sigue una distribución normal.

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Función de densidad de una distribución normal.

Propiedades

  • Es simétrica. El valor de la media, la mediana y la moda coinciden. Matemáticamente, 

Media = Mediana = Moda

  • Distribución unimodal. Los valores que son más frecuentes o que tienen más probabilidad de aparecer están alrededor de la media. En otras palabras, cuando nos alejamos de la media, la probabilidad de aparición de los valores y su frecuencia descienden. 

¿Qué necesitamos para representar una distribución normal?

  • Una variable aleatoria. 
  • Calcular la media. 
  • Calcular la desviación típica. 
  • Decidir la función que queremos representar: función de densidad de probabilidad o función de distribución. 

Ejemplo teórico

Suponemos que queremos saber si los resultados de un examen pueden aproximarse satisfactoriamente a una distribución normal. 

Sabemos que en este examen participan 476 estudiantes y que los resultados podrán oscilar entre 0 y 10. Calculamos la media y la desviación típica a partir de las observaciones (resultados del examen).

Entonces, definimos la variable aleatoria X como los resultados del examen que depende de cada resultado individual. Matemáticamente, 

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La variable aleatoria X representa la variable resultados del examen y puede aproximarse a una distribución normal de media 4,8 y desviación típica de 3,09.

El resultado de cada estudiante se anota en una tabla. De esta forma, obtendremos una visión global de los resultados y de su frecuencia.

ResultadosFrecuencia
020
131
244
356
464
566
662
751
839
926
1016
TOTAL475

Una vez hecha la tabla, representamos los resultados del examen y las frecuencias. Si el gráfico se parece a la imagen anterior y cumple con las propiedades, entonces, la variable resultados del examen puede aproximarse satisfactoriamente a una distribución normal de media 4,86 y desviación típica de 2,56.

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Histograma de frecuencias sobre la variable resultados del examen.

¿Los resultados del examen pueden aproximarse a una distribución normal?

Razones para considerar dicho caso son: 

  • Distribución simétrica. Es decir, existe el mismo número de observaciones tanto a la derecha como a la izquierda del valor central. También, que la media, la mediana y la moda tienen el mismo valor. 

Media = Mediana = Moda = 5

  • Las observaciones con más frecuencia o probabilidad están alrededor del valor central. En otras palabras, las observaciones con menos frecuencia o probabilidad se encuentran lejos del valor central. 
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La variable resultados del examen sigue una distribución normal.
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La variable resultados del examen sigue una distribución normal.

La distribución normal describe la variable aleatoria mediante una aproximación que produce errores estándar (las barras encima de cada columna). Estos errores son la diferencia entre las observaciones reales (resultados) y la función de densidad. 

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Paula Rodó , 10 de noviembre, 2019
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