Distribución t de Student: Qué es y cuándo se utiliza

¿Qué es la distribución t de Student?

La distribución t de Student o distribución t es un modelo teórico utilizado para aproximar el momento de primer orden de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño y se desconoce la desviación típica.

Distribución t de Student: Explicación sencilla

Dicho de otra manera, la distribución t de Student es como una versión más flexible de la distribución normal.

Específicamente, se utiliza cuando necesitamos estimar la media de una población con una muestra pequeña y desconocemos cuánto varían los datos (es decir, la desviación estándar).

La flexibilidad de la distribución t proviene de sus grados de libertad, que nos permiten ajustar la forma de la distribución para reflejar mejor la incertidumbre asociada con muestras pequeñas.

En términos prácticos, esta distribución es útil para realizar pruebas de hipótesis y crear intervalos de confianza cuando no tenemos mucha información y necesitamos ser cautelosos con nuestras estimaciones.

Fórmula de la distribución t de Student

Dada una variable aleatoria continua L, decimos que la frecuencia de sus observaciones puede aproximarse satisfactoriamente a una distribución t con g grados de libertad tal que: 

Representación de la distribución t de Student

Función de densidad de una distribución t con 3 grados de libertad (df). 

Como podemos ver, la representación de la distribución t se parece mucho a la distribución normal salvo que la distribución normal tiene las colas más anchas y es más apuntalada. En otras palabras, deberíamos añadir más grados de libertad a la distribución t para que la distribución “crezca” y se parezca más a la distribución normal. 

Especialidad

Y… ¿Por qué es tan especial la distribución t?

Pues porqué a diferencia de la distribución normal que depende de la media y la varianza, la distribución t solo depende de los grados de libertad, del inglés, degrees of freedom (df). En otras palabras, controlando los grados de libertad, controlamos la distribución.

Aplicación de la t de Student

La distribución t se utiliza cuando: 

• Queremos estimar la media de una población normalmente distribuida a partir de una muestra pequeña. 

• Tamaño de la muestra es inferior a 30 elementos, es decir, n < 30. 

A partir de 30 observaciones, la distribución t se parece mucho a la distribución normal y, por tanto, utilizaremos la distribución normal.

• No se conoce la desviación típica o estándar de una población y tiene que ser estimada a partir de las observaciones de la muestra.

Ejemplo

Suponemos que tenemos 28 observaciones de una variable aleatoria G que sigue una distribución t de Student con 27 grados de libertad (df).

Matemáticamente, 

Dado que estamos trabajando con datos reales, siempre habrá un error de aproximación entre los datos y la distribución. En otras palabras, la media, mediana y moda no siempre serán cero (0) o exactamente iguales.

Representamos la frecuencia de cada observación de la variable G mediante un histograma.  

¿La variable aleatoria G puede aproximarse a una distribución t? 

Razones para considerar que la variable G sigue una distribución t: 

• La distribución es simétrica. Es decir, existe el mismo número de observaciones tanto a la derecha como a la izquierda del valor central. También, que la media y la mediana tienden a aproximarse al mismo valor. La media es aproximadamente cero, media = 0,016. 

• Las observaciones con más frecuencia o probabilidad están alrededor del valor central. Las observaciones con menos frecuencia o probabilidad se encuentran lejos del valor central.