Una distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que describe el número de éxitos al realizar n experimentos independientes entre sí, acerca de una variable aleatoria.
Existen una gran diversidad de experimentos o sucesos que pueden ser caracterizados bajo esta distribución de probabilidad. Imaginemos el lanzamiento de una moneda en el que definimos el suceso “sacar cara” como el éxito. Si lanzamos 5 veces la moneda y contamos los éxitos (sacar cara) que obtenemos, nuestra distribución de probabilidades se ajustaría a una distribución binomial.
Por lo tanto, la distribución binomial se entiende como una serie de pruebas o ensayos en la que solo podemos tener 2 resultados (éxito o fracaso), siendo el éxito nuestra variable aleatoria.
Propiedades de la distribución binomial
Para que una variable aleatoria se considere que sigue una distribución binomial, tiene que cumplir las siguientes propiedades:
- En cada ensayo, experimento o prueba solo son posibles dos resultados (éxito o fracaso).
- La probabilidad del éxito ha de ser constante. Esta se representa mediante la letra p. La probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda es 0,5 y esta es constante dado que la moneda no cambia en cada experimento y las probabilidades de sacar cara es constate.
- La probabilidad de fracaso ha de ser también constate. Esta se representa mediante la letra q = 1-p. Es importante fijarse que mediante esa ecuación, sabiendo p o sabiendo q, podemos obtener la que nos falte.
- El resultado obtenido en cada experimento es independiente del anterior. Por lo tanto lo que ocurra en cada experimento no afecta a los siguientes.
- Los sucesos son mutuamente excluyentes, es decir, no pueden ocurrir los 2 al mismo tiempo. No se puede ser hombre y mujer al mismo tiempo o que al lanzar una moneda salga cara y cruz al mismo tiempo.
- Los sucesos son colectivamente exhaustivos, es decir, al menos uno de los 2 ha de ocurrir. Si no se es hombre, se es mujer y si se lanza una moneda, si no sale cara ha de salir cruz.
- La variable aleatoria que sigue una distribución binomial se suele representar como X~(n,p). n representa el número de ensayos o experimentos y p la probabilidad de éxito.
Formula de la distribución binomial
La fórmula para calcular la distribución normal es:
Donde:
n = número de ensayos/experimentos
x = número de éxitos
p = probabilidad de éxito
q = probabilidad de fracaso (1-p)
Es importante resaltar que la expresión entre corchetes no es una expresión matricial, sino que es un resultado de una combinatoria sin repetición. Este se obtiene con la siguiente formula:
El signo de exclamación en la expresión anterior, representa el símbolo de factorial.
Ejemplo de distribución binomial
Imaginemos que un 80% de personas en el mundo han visto el partido de la final del último mundial de futbol. Tras el evento, 4 amigos se reúnen a conversar, ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos hayan visto?
Definamos las variables del experimento:
n = 4 (es el total de la muestra que tenemos)
x = número de éxitos, que en este caso es igual a 3, dado que buscamos la probabilidad de que 3 de los 4 amigos lo hayan visto.
p = probabilidad de éxito (0,8)
q = probabilidad de fracaso (0,2). Este resultado se obtiene al restar 1-p.
Tras definir todas nuestras variables, simplemente sustituimos en la formula.
El numerador del factorial se obtendría de multiplicar 4*3*2*1 = 24 y en el denominador tendríamos 3*2*1*1 = 6. Por lo tanto el resultado del factorial sería 24/6=4.
Fuera del corchete tenemos dos números. El primero sería 0,8^3=0,512 y el segundo 0,2 (dado que 4-3 = 1 y cualquier número elevado a 1 es el mismo).
Por tanto nuestro resultado final sería: 4*0,512*0,2 = 0,4096. Si multiplicamos por 100 tenemos que hay una probabilidad del 40,96% de que 3 de los 4 amigos hayan visto el partido de la final del mundial.
Me salvaste la vida, de hecho varias veces, pero hasta hoy te dejo mi comentario. GRACIAS.
Muchas gracias por el comentario Fabiola.
Seguimos creando más contenido para ayudar a más gente como tú.
Un saludo.
si el problemaes como de numeros grandes ejp. 2500, 2100, 1500,350 k se hace
Hola,
En ese sentido tienes dos opciones, aproximar la distribución binomial a una Poisson. Ya que cuando el número de experimentos Bernoulli independientes es muy grande en comparación con la probabilidad p (pequeño) se obtienen resultados más ajustado con la siguiente fórmula:
p = Landa / n
De donde Landa se obtiene multiplicando n (número de experimentos bernoulli) por p(probabilidad de éxito). Landa entonces es una constante cuando el número de experimentos (n) tiene a infinito.
Otra opción es aproximar la binomial a una distribución normal tipificando la distribución.
Saludos y gracias por comentar.
Gracias!! MUY CLARO.
¡ Gracias a ti Olga, cualquier cuestión no dudes en preguntarnos !
No entendía nada sobre este tema, hasta que llegué a tu página. Gracias, ¡excelente explicación!
Muchas gracias de parte del equipo de Economipedia Alejandra.
¡ Siempre es un placer leer este tipo de comentarios ! Muy agradecidos
Hola y muchas gracias muy claro,lo entendi con mayor facilidad
Quisiera estar seguro de su direccion web oficial,gracias.
Hola Damian,
Nuestra web oficial es exactamente a la que has accedido —-> http://www.economipedia.com
Nos alegramos de que hayas podido entender todo con claridad y facilidad. Un saludo !
Muchas gracias pude comprender muy bien el concepto de distribución binomial, pero quisiera saber en programación por ejemplo con Rstudio cuando debo utilizar uno de los 9 vectores que hay?
Hola Carlos,
Entendemos que te refieres a las siguientes funciones:
dbinom(x, size, prob, log = FALSE)
pbinom(q, size, prob, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qbinom(p, size, prob, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
rbinom(n, size, prob)
dbinom –> Ofrece la densidad de la función.
pbinom –> Ofrece la función de distribución.
qbinom –> Ofrece la función por cuantiles.
rbinom –> Sirve para generar distribuciones binomiales con valores aleatorios.
Saludos y esperamos que te sirva de utilidad. Cualquier duda, puedes volver a preguntarnos.
Hola, buscaba entender la distribución binomial y lo encontré, muchas gracias por la claridad y simplicidad en la explicación, felicito al editor del tema.
Hola, de igual manera por suerte te encontré y la forma en que explicas la simplicidad es muy buena, haces que entendamos de donde proviene cada resultado.
Te agradezco.
Saludos.