Distribución binomial

Una distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que describe el número de éxitos al realizar n experimentos independientes entre sí, acerca de una variable aleatoria.

Existen una gran diversidad de experimentos o sucesos que pueden ser caracterizados bajo esta distribución de probabilidad. Imaginemos el lanzamiento de una moneda en el que definimos el suceso “sacar cara” como el éxito. Si lanzamos 5 veces la moneda y contamos los éxitos (sacar cara) que obtenemos, nuestra distribución de probabilidades se ajustaría a una distribución binomial.

Por lo tanto, la distribución binomial se entiende como una serie de pruebas o ensayos en la que solo podemos tener 2 resultados (éxito o fracaso), siendo el éxito nuestra variable aleatoria.

Propiedades de la distribución binomial

Para que una variable aleatoria se considere que sigue una distribución binomial, tiene que cumplir las siguientes propiedades:

• En cada ensayo, experimento o prueba solo son posibles dos resultados (éxito o fracaso).
• La probabilidad del éxito ha de ser constante. Esta se representa mediante la letra p. La probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda es 0,5 y esta es constante dado que la moneda no cambia en cada experimento y las probabilidades de sacar cara es constate.
• La probabilidad de fracaso ha de ser también constate. Esta se representa mediante la letra q = 1-p. Es importante fijarse que mediante esa ecuación, sabiendo p o sabiendo q, podemos obtener la que nos falte.
• El resultado obtenido en cada experimento es independiente del anterior. Por lo tanto lo que ocurra en cada experimento no afecta a los siguientes.
• Los sucesos son mutuamente excluyentes, es decir, no pueden ocurrir los 2 al mismo tiempo. No se puede ser hombre y mujer al mismo tiempo o que al lanzar una moneda salga cara y cruz al mismo tiempo.
• Los sucesos son colectivamente exhaustivos, es decir, al menos uno de los 2 ha de ocurrir. Si no se es hombre, se es mujer y si se lanza una moneda, si no sale cara ha de salir cruz.
• La variable aleatoria que sigue una distribución binomial se suele representar como X~(n,p). n representa el número de ensayos o experimentos y p la probabilidad de éxito.

Formula de la distribución binomial

La fórmula para calcular la distribución normal es:

Donde:

n    = número de ensayos/experimentos

x    = número de éxitos

p    = probabilidad de éxito

q    = probabilidad de fracaso (1-p)

Es importante resaltar que la expresión entre corchetes no es una expresión matricial, sino que es un resultado de una combinatoria sin repetición. Este se obtiene con la siguiente formula:

El signo de exclamación en la expresión anterior, representa el símbolo de factorial.

Ejemplo de distribución binomial

Imaginemos que un 80% de personas en el mundo han visto el partido de la final del último mundial de futbol. Tras el evento, 4 amigos se reúnen a conversar, ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos hayan visto?

Definamos las variables del experimento:

n    = 4 (es el total de la muestra que tenemos)

x    = número de éxitos, que en este caso es igual a 3, dado que buscamos la probabilidad de que 3 de los 4 amigos lo hayan visto.

p    = probabilidad de éxito (0,8)

q    = probabilidad de fracaso (0,2). Este resultado se obtiene al restar 1-p.

Tras definir todas nuestras variables, simplemente sustituimos en la formula.

El numerador del factorial se obtendría de multiplicar 4*3*2*1 = 24 y en el denominador tendríamos 3*2*1*1 = 6. Por lo tanto el resultado del factorial sería 24/6=4.
Fuera del corchete tenemos dos números. El primero sería 0,8^3=0,512 y el segundo 0,2 (dado que 4-3 = 1 y cualquier número elevado a 1 es el mismo).

Por tanto nuestro resultado final sería: 4*0,512*0,2 = 0,4096. Si multiplicamos por 100 tenemos que hay una probabilidad del 40,96% de que 3 de los 4 amigos hayan visto el partido de la final del mundial.