Distribución binomial: Qué es, propiedades y ejemplos
- Solo se consideran dos posibles resultados para cada prueba: éxito o fracaso.
- Cada prueba o experimento se realiza de manera independiente, sin influir en los resultados de los demás.
- Nos ayuda a calcular la probabilidad de obtener un número específico de éxitos en un conjunto de pruebas.
¿Qué es la distribución binomial?
La distribución binomial es un modelo estadístico que se utiliza para predecir la probabilidad de obtener un número específico de éxitos en un número fijo de intentos, cada uno con dos posibles resultados (éxito o fracaso) y donde cada intento es independiente de los demás.
La distribución binomial: Explicación sencilla
Dicho de una manera mucho más simple, la distribución binomial es una forma de calcular cómo se distribuyen las probabilidades en situaciones donde solo hay dos posibles resultados: un éxito o un fracaso. Esta se aplica cuando realizamos una serie de pruebas, todas independientes entre sí, y queremos saber cuántas veces ocurrirá un evento específico, como obtener cara al lanzar una moneda varias veces.
Por ejemplo, si lanzamos una moneda cinco veces y queremos saber cuántas veces saldrá cara, este escenario se ajusta perfectamente a lo que llamamos distribución binomial. Aquí, definimos sacar cara como nuestro éxito y contamos cuántas veces sucede esto en nuestros lanzamientos.
Por tanto, la distribución binomial nos ayuda a entender la probabilidad de que algo suceda o no, en situaciones donde solo hay dos opciones y hacemos varias pruebas para verificarlo.
Propiedades de la distribución binomial
Para que una variable aleatoria se considere que sigue una distribución binomial, tiene que cumplir las siguientes propiedades:
- En cada ensayo, experimento o prueba solo son posibles dos resultados (éxito o fracaso).
- La probabilidad del éxito ha de ser constante. Esta se representa mediante la letra p. La probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda es 0,5 y esta es constante dado que la moneda no cambia en cada experimento y las probabilidades de sacar cara son constantes.
- La probabilidad de fracaso ha de ser también constate. Esta se representa mediante la letra q = 1-p. Es importante fijarse que mediante esa ecuación, sabiendo p o sabiendo q, podemos obtener la que nos falte.
- El resultado obtenido en cada experimento es independiente del anterior. Por lo tanto, lo que ocurra en cada experimento no afecta a los siguientes.
- Los sucesos son mutuamente excluyentes, es decir, no pueden ocurrir los 2 al mismo tiempo. No se puede ser hombre y mujer al mismo tiempo o que al lanzar una moneda salga cara y cruz al mismo tiempo.
- Los sucesos son colectivamente exhaustivos, es decir, al menos uno de los 2 ha de ocurrir. Si no se es hombre, se es mujer y, si se lanza una moneda, si no sale cara ha de salir cruz.
- La variable aleatoria que sigue una distribución binomial se suele representar como X~(n,p), donde n representa el número de ensayos o experimentos y p la probabilidad de éxito.
Formula de la distribución binomial
La fórmula para calcular la distribución normal es:
Donde:
n = Número de ensayos/experimentos
x = Número de éxitos
p = Probabilidad de éxito
q = Probabilidad de fracaso (1-p)
Es importante resaltar que la expresión entre corchetes no es una expresión matricial, sino que es un resultado de una combinatoria sin repetición. Este se obtiene con la siguiente formula:
El signo de exclamación en la expresión anterior representa el símbolo de factorial.
Ejemplo de distribución binomial
Imaginemos que un 80% de personas en el mundo ha visto el partido de la final del último mundial de fútbol. Tras el evento, 4 amigos se reúnen a conversar, ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos hayan visto el partido?
Definamos las variables del experimento:
n = 4 (es el total de la muestra que tenemos)
x = número de éxitos, que en este caso es igual a 3, dado que buscamos la probabilidad de que 3 de los 4 amigos lo hayan visto.
p = probabilidad de éxito (0,8)
q = probabilidad de fracaso (0,2). Este resultado se obtiene al restar 1-p.
Tras definir todas nuestras variables, simplemente sustituimos en la formula.
El numerador del factorial se obtendría de multiplicar 4*3*2*1 = 24 y en el denominador tendríamos 3*2*1*1 = 6. Por lo tanto, el resultado del factorial sería 24/6=4.
Fuera del corchete tenemos dos números. El primero sería 0,8^3=0,512 y el segundo 0,2 (dado que 4-3 = 1 y cualquier número elevado a 1 es el mismo).
Por tanto, nuestro resultado final sería: 4*0,512*0,2 = 0,4096. Si multiplicamos por 100 tenemos que hay una probabilidad del 40,96% de que 3 de los 4 amigos haya visto el partido de la final del mundial.
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¿Qué es una distribución binomial?: Es un método matemático para calcular la probabilidad de que ocurra un número específico de éxitos en un conjunto de pruebas, donde hay dos posibles resultados (éxito o fracaso) y las pruebas son independientes entre sí.
¿En qué situaciones se usa la distribución binomial?: Se utiliza en cualquier situación donde se realicen pruebas con dos posibles resultados, como el lanzamiento de una moneda, pruebas de calidad de productos, estudios de mercado, entre otros.
¿Por qué es importante la independencia en las pruebas para la distribución binomial?: La independencia asegura que el resultado de una prueba no afecta a los resultados de las otras. Esto es crucial para que el cálculo de la probabilidad sea válido bajo los criterios de esta distribución.
