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Distribución binomial

Francisco Javier Marco Sanjuán
3 min
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Una distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que describe el número de éxitos al realizar n experimentos independientes entre sí, acerca de una variable aleatoria.

Existen una gran diversidad de experimentos o sucesos que pueden ser caracterizados bajo esta distribución de probabilidad. Imaginemos el lanzamiento de una moneda en el que definimos el suceso “sacar cara” como el éxito. Si lanzamos 5 veces la moneda y contamos los éxitos (sacar cara) que obtenemos, nuestra distribución de probabilidades se ajustaría a una distribución binomial.

Por lo tanto, la distribución binomial se entiende como una serie de pruebas o ensayos en la que solo podemos tener 2 resultados (éxito o fracaso), siendo el éxito nuestra variable aleatoria.

Propiedades de la distribución binomial

Para que una variable aleatoria se considere que sigue una distribución binomial, tiene que cumplir las siguientes propiedades:

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  • En cada ensayo, experimento o prueba solo son posibles dos resultados (éxito o fracaso).
  • La probabilidad del éxito ha de ser constante. Esta se representa mediante la letra p. La probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda es 0,5 y esta es constante dado que la moneda no cambia en cada experimento y las probabilidades de sacar cara son constantes.
  • La probabilidad de fracaso ha de ser también constate. Esta se representa mediante la letra q = 1-p. Es importante fijarse que mediante esa ecuación, sabiendo p o sabiendo q, podemos obtener la que nos falte.
  • El resultado obtenido en cada experimento es independiente del anterior. Por lo tanto, lo que ocurra en cada experimento no afecta a los siguientes.
  • Los sucesos son mutuamente excluyentes, es decir, no pueden ocurrir los 2 al mismo tiempo. No se puede ser hombre y mujer al mismo tiempo o que al lanzar una moneda salga cara y cruz al mismo tiempo.
  • Los sucesos son colectivamente exhaustivos, es decir, al menos uno de los 2 ha de ocurrir. Si no se es hombre, se es mujer y, si se lanza una moneda, si no sale cara ha de salir cruz.
  • La variable aleatoria que sigue una distribución binomial se suele representar como X~(n,p), donde n representa el número de ensayos o experimentos y p la probabilidad de éxito.

Formula de la distribución binomial

La fórmula para calcular la distribución normal es:

Donde:

n    = Número de ensayos/experimentos

x    = Número de éxitos

p    = Probabilidad de éxito

q    = Probabilidad de fracaso (1-p)

Es importante resaltar que la expresión entre corchetes no es una expresión matricial, sino que es un resultado de una combinatoria sin repetición. Este se obtiene con la siguiente formula:

El signo de exclamación en la expresión anterior representa el símbolo de factorial.

Ejemplo de distribución binomial

Imaginemos que un 80% de personas en el mundo ha visto el partido de la final del último mundial de fútbol. Tras el evento, 4 amigos se reúnen a conversar, ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos hayan visto el partido?

Definamos las variables del experimento:

n    = 4 (es el total de la muestra que tenemos)

x    = número de éxitos, que en este caso es igual a 3, dado que buscamos la probabilidad de que 3 de los 4 amigos lo hayan visto.

p    = probabilidad de éxito (0,8)

q    = probabilidad de fracaso (0,2). Este resultado se obtiene al restar 1-p.

Tras definir todas nuestras variables, simplemente sustituimos en la formula.

El numerador del factorial se obtendría de multiplicar 4*3*2*1 = 24 y en el denominador tendríamos 3*2*1*1 = 6. Por lo tanto, el resultado del factorial sería 24/6=4.
Fuera del corchete tenemos dos números. El primero sería 0,8^3=0,512 y el segundo 0,2 (dado que 4-3 = 1 y cualquier número elevado a 1 es el mismo).

Por tanto, nuestro resultado final sería: 4*0,512*0,2 = 0,4096. Si multiplicamos por 100 tenemos que hay una probabilidad del 40,96% de que 3 de los 4 amigos haya visto el partido de la final del mundial.

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Francisco Javier Marco Sanjuán, 16 de noviembre, 2017
Distribución binomial. Economipedia.com

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    Comentarios

    1. Fabiola Avila

      12 de marzo de 2019 a las 04:09

      Me salvaste la vida, de hecho varias veces, pero hasta hoy te dejo mi comentario. GRACIAS.

      Accede para responder
      • Jose Francisco Lopez RodriguezJosé Francisco López

        12 de marzo de 2019 a las 14:46

        Muchas gracias por el comentario Fabiola.

        Seguimos creando más contenido para ayudar a más gente como tú.

        Un saludo.

        Accede para responder
    2. yocasta

      5 de mayo de 2019 a las 17:35

      si el problemaes como de numeros grandes ejp. 2500, 2100, 1500,350 k se hace

      Accede para responder
      • Jose Francisco Lopez RodriguezJosé Francisco López

        7 de mayo de 2019 a las 14:20

        Hola,

        En ese sentido tienes dos opciones, aproximar la distribución binomial a una Poisson. Ya que cuando el número de experimentos Bernoulli independientes es muy grande en comparación con la probabilidad p (pequeño) se obtienen resultados más ajustado con la siguiente fórmula:

        p = Landa / n

        De donde Landa se obtiene multiplicando n (número de experimentos bernoulli) por p(probabilidad de éxito). Landa entonces es una constante cuando el número de experimentos (n) tiene a infinito.

        Otra opción es aproximar la binomial a una distribución normal tipificando la distribución.

        Saludos y gracias por comentar.

        Accede para responder
    3. OLGA

      16 de mayo de 2019 a las 04:32

      Gracias!! MUY CLARO.

      Accede para responder
      • Jose Francisco Lopez RodriguezJosé Francisco López

        17 de mayo de 2019 a las 17:59

        ¡ Gracias a ti Olga, cualquier cuestión no dudes en preguntarnos !

        Accede para responder
      • Naty

        22 de octubre de 2020 a las 05:25

        Para sacar binomial de datos como estatura, sexo, y peso que debo hacer primero???

        Accede para responder
    4. Alejandra

      5 de junio de 2019 a las 09:05

      No entendía nada sobre este tema, hasta que llegué a tu página. Gracias, ¡excelente explicación!

      Accede para responder
      • Jose Francisco Lopez RodriguezJosé Francisco López

        5 de junio de 2019 a las 13:20

        Muchas gracias de parte del equipo de Economipedia Alejandra.

        ¡ Siempre es un placer leer este tipo de comentarios ! Muy agradecidos

        Accede para responder
    5. Damian Torres

      20 de junio de 2019 a las 17:47

      Hola y muchas gracias muy claro,lo entendi con mayor facilidad
      Quisiera estar seguro de su direccion web oficial,gracias.

      Accede para responder
      • Jose Francisco Lopez RodriguezJosé Francisco López

        20 de junio de 2019 a las 18:09

        Hola Damian,

        Nuestra web oficial es exactamente a la que has accedido —-> http://www.economipedia.com

        Nos alegramos de que hayas podido entender todo con claridad y facilidad. Un saludo !

        Accede para responder
    6. Carlos Andrés Roldán

      4 de septiembre de 2019 a las 14:47

      Muchas gracias pude comprender muy bien el concepto de distribución binomial, pero quisiera saber en programación por ejemplo con Rstudio cuando debo utilizar uno de los 9 vectores que hay?

      Accede para responder
      • Jose Francisco Lopez RodriguezJosé Francisco López

        7 de septiembre de 2019 a las 09:45

        Hola Carlos,

        Entendemos que te refieres a las siguientes funciones:

        dbinom(x, size, prob, log = FALSE)
        pbinom(q, size, prob, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
        qbinom(p, size, prob, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
        rbinom(n, size, prob)

        dbinom –> Ofrece la densidad de la función.
        pbinom –> Ofrece la función de distribución.
        qbinom –> Ofrece la función por cuantiles.
        rbinom –> Sirve para generar distribuciones binomiales con valores aleatorios.

        Saludos y esperamos que te sirva de utilidad. Cualquier duda, puedes volver a preguntarnos.

        Accede para responder
    7. juan carlos aliaga villegas

      16 de septiembre de 2019 a las 15:47

      Hola, buscaba entender la distribución binomial y lo encontré, muchas gracias por la claridad y simplicidad en la explicación, felicito al editor del tema.

      Accede para responder
    8. Mariano Galindo Rosas

      22 de octubre de 2019 a las 02:33

      Hola, de igual manera por suerte te encontré y la forma en que explicas la simplicidad es muy buena, haces que entendamos de donde proviene cada resultado.
      Te agradezco.
      Saludos.

      Accede para responder
    9. Sofia

      15 de julio de 2020 a las 12:57

      Buenos dias!! Quisiera saber con qué distribución resuelvo el siguiente ejercicio.
      Muchas gracias! saludos!!

      Para controlar la calidad de producción de resistencias eléctricas se toma una muestra de 10 resistencias de un lote muy grande y se miden sus valores para establecer cuantas están fuera de tolerancia. Si se encuentra mas de una en esa condición se descarta el lote. Suponiendo que en el lote hay un 5% de resistencias fuera de tolerancia.
      a) Cuál es la prob de descartar el lote?
      b) Cuál es la prob de que en la muestra haya resistencias defectuosas?
      c) Cuál es la prob de que se descarte el lote, pero no haya mas de 3 resistencias fuera de tolerancia entre las 10 medidas?

      Accede para responder
    10. Keila Jired Vargas Hernandez

      5 de noviembre de 2020 a las 22:30

      No entiendo muy bien, el porqué son una distribución de probabilidad discreta

      Accede para responder
      • GuillermoGuillermo Westreicher

        1 de febrero de 2022 a las 21:25

        Hola,

        Una variable discreta es aquella donde cada valor tiene una probabilidad exacta. Un ejemplo claro es el lanzamiento de un dado, cada número tiene una probabilidad. Lo mismo sucede con la distribución binominal, existen dos posibles valores con una probabilidad asignada.

        https://economipedia.com/definiciones/variable-discreta.html

        Saludos

        Accede para responder
      • GuillermoGuillermo Westreicher

        1 de febrero de 2022 a las 21:28

        Hola,

        Una variable discreta es aquella donde cada valor tiene una probabilidad exacta, es decir, la variable puede tomar el valor de 1, 2 o 3, pero ningún valor entre estos números (como 1,5). Un ejemplo claro es el lanzamiento de un dado, cada número tiene una probabilidad de salir. Lo mismo sucede con la distribución binomial, existen dos posibles valores con una probabilidad asignada.

        https://economipedia.com/definiciones/variable-discreta.html

        Saludos

        Accede para responder
    11. Ricardo Lizcano

      6 de diciembre de 2020 a las 23:09

      Muchas gracias por su información. Muy fácil de entender.

      Accede para responder
    12. silverio andrade

      18 de febrero de 2021 a las 03:10

      muy buena información gracias, solo tengo una duda.

      Por lo tanto, la distribución binomial se entiende como una serie de pruebas o ensayos en la que solo podemos tener 2 resultados (éxito o fracaso),

      mocionas que el éxito es una variable aleatoria.

      me podrias aclarar eso, gracias

      Accede para responder
      • Jose Francisco Lopez RodriguezJosé Francisco López

        18 de febrero de 2021 a las 09:54

        Hola Silverio,

        Así es. En este caso se trataría de una variable aleatorio que puede dar dos resultados (1 o 0). Es decir, éxito o fracaso.

        Un saludo de parte del equipo de Economipedia.

        Accede para responder

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