Concavidad

La concavidad es la propiedad con la que cuenta una superficie o una figura geométrica, de manera que su parte central está más hundida que los extremos.

Podemos relacionar la concavidad con el interior de una esfera que ha sido cortada en dos, o con la imagen de un pozo, pues este es un hundimiento y, por ende, es cóncavo.

La concavidad es lo opuesto a la convexidad, que es cuando una superficie u objeto presenta una prominencia, como en el caso de una montaña, o cuando nos damos un golpe y nos produce una inflamación.

Eso sí, dependiendo del documento que leamos o de la explicación, podría considerarse que la montaña es cóncava. Todo depende desde el punto de vista que se mire.

Concavidad de una parábola

La concavidad de una parábola se da cuando tiene una forma de U invertida, como observamos en la siguiente imagen.

Ahora, sabemos que dicha parábola es cóncava porque de su función f(x) = -x²+2x+5, la primera derivada es f'(x) = -2x+2, y su segunda derivada sería f»(x) = -2. Por tanto, la función f(x) = x² +2x+5 es cóncava para todo valor de x.

Lo anterior se cumple porque, para determinar la concavidad de una función, se debe evaluar la segunda derivada. Si esta es menor a cero, entonces la función es cóncava en ese punto o rango específico.

Concavidad de una función

Como mencionamos previamente, si la segunda derivada de una función es menor que 0 en un intervalo del dominio (conjunto de valores que puede tomar x), entonces es cóncava en ese intervalo.

Por ejemplo, una función puede ser cóncava entre [4,9] y convexa en el intervalo [10,16].

Ahora, veamos un caso. Si tenemos la función f(x) = -x³+6x+5, su primera derivada es f'(x) = -3x²+6 y su segunda derivada sería f»(x) = -6x. Por tanto, la función es cóncava para todo valor de x mayor a 0 (ver imagen inferior donde el gráfico se convierte en una U invertida a partir de valores positivos de x). Por ejemplo, cuando x=3, la segunda derivada es negativa f»(x) = -3×6 = -18.

Concavidad de un polígono

Cuando clasificamos polígonos, aquellos con concavidad o cóncavos son los que tienen al menos uno de sus ángulos internos mayores a 180º. Además, al menos una de las diagonales es exterior a la figura. Es decir, para unir al menos dos puntos de la figura, se debe trazar una línea recta exterior al polígono.

Por ejemplo, veamos el siguiente trapezoide cóncavo:

Igualmente, la siguiente figura denominada estrella:

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