Convexo

El término convexo se utiliza para describir una superficie que muestra una curvatura, siendo su centro el lado con mayor prominencia.

Por tanto, decimos, por ejemplo, que el exterior de una esfera es convexo. Esto se debe a que su parte central es más sobresaliente.

Por otro lado, es posible analizar si las figuras geométricas son convexas, por ejemplo, en el caso de una parábola, es cuando tiene forma de U.

Un truco didáctico para recordar la convexidad es pensar que la forma de la curva convexa es el de una cara sonriente.

Además, aunque hemos hecho referencia a la propiedad de la convexidad como algo que posee una curva, es aplicable también a funciones matemáticas y polígonos, como veremos a continuación.

¿Cómo saber si una función es convexa?

Si la segunda derivada de una función es mayor que cero en un punto, entonces la función es convexa en ese punto, en su representación gráfica.

Lo anterior, formalmente, se expresa así:

f»(x) > 0

Por ejemplo, la función f(x) = x² + x + 3. Su primera derivada f'(x) = 2x +1 y su segunda derivada f»(x) = 2. Por tanto, la función f(x) = x² + x + 3 es convexa para cualquier valor de x, como vemos en la imagen inferior, que es una parábola:

Ahora imaginemos esta otra función f(x) = – x³ + x² + 3. Su primera derivada f'(x) = -3x² + 2x y su segunda derivada f»(x) = -6x + 2. Una vez tenemos calculada la segunda derivada, debemos comprobar para qué valores de x, la función f(x) = -x³ + x² + 3 es convexa.

Entonces, igualamos la segunda derivada a 0:

f»(x) = -6x + 2 = 0

6x = 2

x = 0,33

Por tanto, la función es convexa cuando x es menor a 0,33, pues la segunda derivada de la ecuación es positiva. Podemos comprobarlo reemplazando distintos valores de x. Asimismo, la función se vuelve cóncava cuando x es mayor a 0,33, como observamos en el gráfico inferior.

Polígono convexo

Un polígono convexo es aquel donde se cumple que se pueden unir dos puntos, cualesquiera de la figura, mediante una línea recta que siempre se mantendrá dentro del polígono. Asimismo, todos los ángulos interiores son menores a 180º. Podemos pensar, por ejemplo, en un cuadrado o en un octógono regular.

Lo contrario es un polígono cóncavo. Es decir, aquel donde, al menos para unir dos de sus puntos, se debe trazar una línea que está, parcial o totalmente, fuera de la figura. Tal y como se observa en la comparación que se ofrece a continuación: