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Diagonal principal

Paula Rodó
2 min
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La diagonal principal de una matriz cuadrada es una línea recta imaginaria con pendiente negativa que empieza por el extremo superior izquierdo y acaba en el extremo inferior derecho de la matriz.

En otras palabras, la diagonal principal es una línea recta con pendiente que podemos trazar encima de la matriz desde el primer elemento hasta el último.

Dado que la diagonal principal no viene dada por la matriz decimos que es imaginaria. Entonces, para obtener la línea diagonal deberemos dibujarla física o mentalmente encima de la matriz. 

Artículos recomendados: matriz cuadrada.

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Representación de la diagonal principal 

Dada una matriz cuadrada Zcualquiera: 

Captura De Pantalla 2019 07 29 A Les 13.22.03
Matriz cuadrada.

La diagonal principal de la matriz Z es: 

Captura De Pantalla 2019 07 29 A Les 13.22.22
Matriz cuadrada con la diagonal principal marcada en verde.

Dibujar la diagonal principal 

Un requisito para encontrar tanto la diagonal principal como la diagonal secundaria es que la matriz tiene que ser una matriz cuadrada. 

¿Cómo nos podemos acordar que la diagonal principal empieza en la esquina superior izquierda y no en la esquina inferior derecha (diagonal secundaria)? 

Pues, por ejemplo, podemos buscar referencias en la geometría.

Si miramos la matriz Z, podemos ver como se forma un triángulo rectángulo donde su hipotenusa (diagonal) es la diagonal principal de la matriz. Gráficamente: 

Captura De Pantalla 2019 07 29 A Les 13.20.15
Triángulo rectángulo donde su hipotenusa es la diagonal principal de una matriz cuadrada.

Desde la parte analítica, también podemos recordar que la diagonal principal es una línea recta que tiene pendiente negativa. Entonces, para tener pendiente negativa, la diagonal tiene que empezar en el extremo superior izquierdo y terminar en la parte inferior derecha. Gráficamente: 

Captura De Pantalla 2019 07 29 A Les 13.00.24
Inicio y final de la diagonal principal de una matriz cuadrada.

Una vez trazada la diagonal principal veremos que nos quedan dos triángulos simétricos por encima y por debajo de la diagonal. Este resultado es señal de que lo hemos hecho bien. Gráficamente: 

Captura De Pantalla 2019 07 29 A Les 13.18.05
Triángulos simétricos que se forman cuando se traza la diagonal principal en una matriz cuadrada.

Aplicaciones

La diagonal principal se emplea en la obtención del determinante de la matriz, la descomposición LU, la descomposición de Cholesky, en la regla de Sarrus y en otros métodos.

Ejemplo teórico

Encuentra la diagonal principal de las siguientes matrices: 

Captura De Pantalla 2019 07 29 A Les 13.18.58
Matrices.

Solución gráfica: 

Captura De Pantalla 2019 07 29 A Les 13.19.11
La diagonal principal está marcada en verde.

Solución analítica: 

  • Diagonal principal matriz A: {2;28;1}.
  • Diagonal principal matriz B: {9;5}.
  • Diagonal principal matriz C: no es una matriz cuadrada y por tanto no podemos encontrar la diagonal principal. 

  • Diccionario económico
  • Matemáticas

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Paula Rodó, 06 de agosto, 2019
Diagonal principal. Economipedia.com

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