La diagonal principal de una matriz cuadrada es una línea recta imaginaria con pendiente negativa que empieza por el extremo superior izquierdo y acaba en el extremo inferior derecho de la matriz.
En otras palabras, la diagonal principal es una línea recta con pendiente que podemos trazar encima de la matriz desde el primer elemento hasta el último.
Dado que la diagonal principal no viene dada por la matriz decimos que es imaginaria. Entonces, para obtener la línea diagonal deberemos dibujarla física o mentalmente encima de la matriz.
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Representación de la diagonal principal
Dada una matriz cuadrada Zcualquiera:
La diagonal principal de la matriz Z es:
Dibujar la diagonal principal
Un requisito para encontrar tanto la diagonal principal como la diagonal secundaria es que la matriz tiene que ser una matriz cuadrada.
¿Cómo nos podemos acordar que la diagonal principal empieza en la esquina superior izquierda y no en la esquina inferior derecha (diagonal secundaria)?
Pues, por ejemplo, podemos buscar referencias en la geometría.
Si miramos la matriz Z, podemos ver como se forma un triángulo rectángulo donde su hipotenusa (diagonal) es la diagonal principal de la matriz. Gráficamente:
Desde la parte analítica, también podemos recordar que la diagonal principal es una línea recta que tiene pendiente negativa. Entonces, para tener pendiente negativa, la diagonal tiene que empezar en el extremo superior izquierdo y terminar en la parte inferior derecha. Gráficamente:
Una vez trazada la diagonal principal veremos que nos quedan dos triángulos simétricos por encima y por debajo de la diagonal. Este resultado es señal de que lo hemos hecho bien. Gráficamente:
Aplicaciones
La diagonal principal se emplea en la obtención del determinante de la matriz, la descomposición LU, la descomposición de Cholesky, en la regla de Sarrus y en otros métodos.
Ejemplo teórico
Encuentra la diagonal principal de las siguientes matrices:
Solución gráfica:
Solución analítica:
- Diagonal principal matriz A: {2;28;1}.
- Diagonal principal matriz B: {9;5}.
- Diagonal principal matriz C: no es una matriz cuadrada y por tanto no podemos encontrar la diagonal principal.
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