División de matrices

La división de dos matrices es la multiplicación de una matriz por la matriz inversa de la matriz divisora, y al mismo tiempo, exige que la matriz divisora sea una matriz cuadrada y que su determinante sea distinto de cero.

En otras palabras, la división de dos matrices es la multiplicación de una matriz por la matriz inversa de la matriz que actúa como divisor y, como requisitos de las matrices inversas, necesitan ser cuadradas y que el determinante sea distinto a cero. 

Puede parecer contradictorio que para hacer la división de dos matrices tengamos que multiplicarlas. La clave está en que en esta multiplicación no se multiplican las dos matrices originales, sino que la matriz que iría en el denominador y que ahora multiplica se trata de la matriz inversa de la matriz original. 

Fórmula de la división de matrices

La matriz inversa se hace sobre la matriz denominador.

Proceso para la división de matrices

El orden para dividir dos matrices es el siguiente: 

1. Determinar qué matriz va en el numerador y qué matriz va en denominador. Recordar que la matriz del denominador tiene que ser invertible. En caso contrario no podrá hacerse la división. 
2. Hacer la inversa de la matriz que vaya en el denominador.
3. Multiplicar la matriz del numerador por la matriz inversa. 
4. ¡Sonreír porque lo hemos hecho bien!

Ejemplo teórico

Dadas dos matrices cualesquiera, 

Poniendo las matrices anteriores en la siguiente forma:

En este caso estaríamos dividiendo la matriz A por la matriz C. 

Entonces, si queremos emplear la matriz C como matriz divisora, ¿qué deberíamos comprobar primero? Exacto, si esta matriz es invertible o no. 

Condiciones para que una matriz sea inversa

Las condiciones son:

1. La matriz tiene que ser una matriz cuadrada.
2. El determinante de la matriz tiene que ser distinto de cero (0). 

A continuación, evaluamos si podemos continuar con la división de matrices o no: 

• Si la matriz C puede ser una matriz inversa, continuamos con la división. 
• Si la matriz C no puede ser una matriz inversa porque no cumple con las condiciones, no podemos continuar la división con esta matriz como matriz denominador o divisora.

Ejemplo práctico

Dadas las siguientes matrices, dividir la matriz X por la matriz B: 

Primero determinamos qué matriz va en el numerador y qué matriz va en el denominador. Esta condición viene dada por el enunciado, en este ejemplo, la matriz X sería la matriz dividendo o matriz numerador y la matriz B sería la matriz divisor o matriz denominador.

• Matriz X → Matriz dividendo o matriz denominador. 
• Matriz B → Matriz divisor o matriz denominador. 

Segundo, comprobamos que podemos hacer la inversa de la matriz que vaya en el denominador, en este caso, la matriz B.

La matriz B es una matriz cuadrada y el determinante es diferente de cero (0), por tanto, la matriz inversa de la matriz B existe y se denota como B^-1. 

Tercero, multiplicamos la matriz X por la matriz B^-1.

Cuarto, !Sonreímos porque hemos hecho bien la división de matrices!