Ecuaciones funcionales

Las ecuaciones funcionales, también, pueden definirse como aquellas que no son fácilmente reducibles a una función algebraica, del tipo f(x)=0, para su resolución.

Las ecuaciones funcionales se caracterizan porque no existe una forma única para resolverse. Además, puede que la variable en cuestión tome distintos valores (lo veremos con ejemplos).

Algunos ejemplos de ecuaciones funcionales son:

f(xy)=f(x).f(y)

f(x²+y²)=f(xy)²/2

f(x)=f(x+3)/x

En casos como los anteriores, se puede agregar, por ejemplo, que x pertenece al conjunto de números reales, es decir, x ∈ R (puede excluirse el cero).

Veamos algunos ejemplos de ecuaciones funcionales resueltas:

f(1/2x)=x-3f(x)

Entonces, si reemplazo x por 1/2x:

f(1/2(1/2x))=(1/2x)-3f(1/2x)

f(x)=(1/2x)-3f(1/2x)

f(x)=(1/2x)-3(x-3f(x))

f(x)=(1/2x)-3x+9f(x)

8f(x)=3x-(1/2x)

f(x)=(3/8)x-(1/16x)

Ahora, veamos otro ejemplo con algo más de dificultad, pero donde procederemos de forma similar:

x²f(x)-f(5-x)=3x…(1)

En este caso, primero despejamos f(5-x)

f(5-x)=x²f(x)-3x…(2)

Ahora, reemplazo x por 5-x en la ecuación 1:

(5-x)²f(5-x)-f(5-(5-x))=3(5-x)

(25-10x+x²).f(5-x)-f(x)=15-3x

Recordamos que f(5-x) está en la ecuación 2:

(25-10x+x²).(x²f(x)-3x)-f(x)=15-3x

25x²-75x-10x³f(x)+30x²+x⁴f(x)-3x³-f(x)=15-3x

f(x)(x⁴-10x³-1)=3x³-55x²+72x

f(x)=(3x³-55x²+72x)/(x⁴-10x³-1)

La función funcional de Cauchy es una de las más básicas de su tipo. Esta ecuación tiene la siguiente forma:

f(x+y)=f(x)+f(y)

Suponiendo que x e y se encuentran en el conjunto de número racionales, la solución de esta ecuación nos indica que f(x)=cx, siendo c una constante cualquiera, y lo mismo sucede con f(y).