Ecuaciones funcionales

Las ecuaciones funcionales son aquellas que tienen como incógnita otra función. Una función que puede estar ligada a una operación algebraica como una suma, resta, división, multiplicación , potencia o raíz.

Las ecuaciones funcionales, también, pueden definirse como aquellas que no son fácilmente reducibles a una función algebraica, del tipo f(x)=0, para su resolución.

Las ecuaciones funcionales se caracterizan porque no existe una forma única para resolverse. Además, puede que la variable en cuestión tome distintos valores (lo veremos con ejemplos).

Ejemplos de ecuaciones funcionales

Algunos ejemplos de ecuaciones funcionales son:

f(xy)=f(x).f(y)

f(x²+y²)=f(xy)²/2

f(x)=f(x+3)/x

En casos como los anteriores, se puede agregar, por ejemplo, que x pertenece al conjunto de números reales, es decir, x ∈ R (puede excluirse el cero).

Ejemplos de ecuaciones funcionales

Veamos algunos ejemplos de ecuaciones funcionales resueltas:

f(1/2x)=x-3f(x)

Entonces, si reemplazo x por 1/2x:

f(1/2(1/2x))=(1/2x)-3f(1/2x)

f(x)=(1/2x)-3f(1/2x)

f(x)=(1/2x)-3(x-3f(x))

f(x)=(1/2x)-3x+9f(x)

8f(x)=3x-(1/2x)

f(x)=(3/8)x-(1/16x)

Ahora, veamos otro ejemplo con algo más de dificultad, pero donde procederemos de forma similar:

x²f(x)-f(5-x)=3x…(1)

En este caso, primero despejamos f(5-x)

f(5-x)=x²f(x)-3x…(2)

Ahora, reemplazo x por 5-x en la ecuación 1:

(5-x)²f(5-x)-f(5-(5-x))=3(5-x)

(25-10x+x²).f(5-x)-f(x)=15-3x

Recordamos que f(5-x) está en la ecuación 2:

(25-10x+x²).(x²f(x)-3x)-f(x)=15-3x

25x²-75x-10x³f(x)+30x²+x⁴f(x)-3x³-f(x)=15-3x

f(x)(x⁴-10x³-1)=3x³-55x²+72x

f(x)=(3x³-55x²+72x)/(x⁴-10x³-1)

Ecuación funcional de Cauchy

La función funcional de Cauchy es una de las más básicas de su tipo. Esta ecuación tiene la siguiente forma:

f(x+y)=f(x)+f(y)

Suponiendo que x e y se encuentran en el conjunto de número racionales, la solución de esta ecuación nos indica que f(x)=cx, siendo c una constante cualquiera, y lo mismo sucede con f(y).