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Estimación de máxima verosimilitud y GARCH

Redactado por: Paula Rodó
Revisado por: Andrés Sevilla Arias
Actualizado el 6 agosto 2019

Tabla de contenidos

  • Definición técnica
  • GARCH 
  • Fórmula Modelo GARCH (p,q): 
  • Coeficientes
  • Importante
  • EMV
  • Procedimiento
  • Aplicación

La Estimación de Máxima Verosimilitud (EMV) y el modelo GARCH son dos herramientas econométricas muy empleadas para hacer predicciones sobre el grado de dispersión de una muestra dado un período de tiempo a través de una autoregresión. 

En otras palabras, tanto EMV y GARCH se emplean conjuntamente para encontrar el promedio de volatilidad a medio plazo de un activo financiero mediante una autorregresión. 

Artículos recomendados: modelo autorregresivo (AR), GARCH y EMV.

GARCH 

Fórmula Modelo GARCH (p,q): 

Captura De Pantalla 2019 08 02 A Les 9.01.02
Fórmula general del modelo GARCH (p,q).

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Captura De Pantalla 2019 08 02 A Les 9.01.25
La perturbación sigue una distribución normal estándar.

Coeficientes

Los coeficientes del modelo GARCH (p,q) son

Captura De Pantalla 2019 08 02 A Les 9.01.59
Constante y parámetros del modelo.
  • La constante 
Captura De Pantalla 2019 08 02 A Les 9.02.09
Constante del modelo.

junto con 

Captura De Pantalla 2019 08 02 A Les 9.02.16
Suma de los parámetros del modelo.

determinan el nivel promedio de volatilidad a medio plazo. Restringimos la constante a valores mayores a 0, es decir, (a+b) > 0.

  • El parámetro de error 
Captura De Pantalla 2019 08 02 A Les 9.02.29
Parámetro de error del modelo.

determina la reacción de la volatilidad delante sacudidas de mercado. Entonces, si este parámetro es mayor a 0,1, nos indica que la volatilidad es muy sensible cuando hay alteraciones en el mercado. Restringimos el parámetro de error a valores mayores de 0, es decir, a > 0. 

  • El parámetro
Captura De Pantalla 2019 08 02 A Les 9.02.45
Parámetro del modelo.

determina en qué cantidad se acerca la volatilidad actual a la volatilidad promedio a medio plazo. Entonces, si este parámetro es mayor a 0,9 significa que el nivel de volatilidad permanecerá después de una sacudida en el mercado. 

  • Restringimos
Captura De Pantalla 2019 08 02 A Les 9.02.56
Suma de los parámetros del modelo.

a ser menor a 1, es decir, (a+b) < 1.

Importante

Aunque estos coeficientes de obtengan mediante EMV dependen indirectamente de las características de la muestra. Entonces, si una muestra está compuesta por rentabilidades diarias, obtendremos unos resultados distintos a una muestra compuesta por rentabilidades anuales. 

EMV

La EMV maximiza la probabilidad de los parámetros de una función de densidad cualquiera que depende de la distribución de probabilidad y las observaciones de la muestra. 

Entonces, cuando queremos obtener una estimación de los parámetros del modelo GARCH, utilizamos la función logarítmica de máxima verosimilitud. En el modelo GARCH suponemos que la perturbación sigue una distribución normal estándar de media 0 y varianza:

Captura De Pantalla 2019 08 02 A Les 9.03.17
Varianza en tiempo t.

Entonces, deberemos aplicar logaritmos a la función de densidad de una distribución normal y encontraremos la función de máxima verosimilitud.  

Procedimiento

  • Escribir la función de densidad. En ese caso, de la distribución de probabilidad normal. 
Captura De Pantalla 2019 08 02 A Les 9.03.33
Función de densidad de la distribución normal.

Si derivamos la función de densidad respecto a sus parámetros, encontramos las condiciones de primer orden (CPO): 

Captura De Pantalla 2019 08 02 A Les 9.03.48
Derivadas parciales sobre la función de densidad de la distribución normal.

 ¿Encontráis familiares las fórmulas de la derecha? Son la famosa media y la varianza muestral. Estos son los parámetros de la función de densidad. 

  • Aplicamos logaritmos naturales: 
Captura De Pantalla 2019 08 02 A Les 9.04.38
Aplicación de logaritmos sobre la función de densidad de la distribución normal.
  • Arreglamos la función anterior: 
Captura De Pantalla 2019 08 02 A Les 10.50.24
Aplicación de logaritmos sobre la función de densidad de la distribución normal.
Captura De Pantalla 2019 08 02 A Les 10.51.15
Función logarítmica de máxima verosimilitud.
  • Para obtener estimaciones de máxima verosimilitud de los parámetros anteriores, deberemos: 
Captura De Pantalla 2019 08 02 A Les 9.05.07
Maximización de la función logarítmica de máxima verosimilitud.

En otras palabras, para encontrar estimaciones de los parámetros de GARCH con máxima probabilidad deberemos maximizar la función de máxima verosimilitud (función anterior). 

Aplicación

¿Todas las veces que queramos encontrar la función logarítmica de máxima verosimilitud tendremos que hacer los pasos anteriores? Depende. 

Si suponemos que la frecuencia de las observaciones puede aproximarse satisfactoriamente a una distribución de probabilidad normal estándar, entonces, solo tendremos que copiar la última función. 

Si suponemos que la frecuencia de las observaciones puede aproximarse satisfactoriamente a una distribución t de Student, tendremos que estandarizar los datos y aplicar logaritmos a la función de densidad de la t de Student. En conclusión, realizar todos los pasos anteriores.

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Paula Rodó, 01 de noviembre, 2019
Estimación de máxima verosimilitud y GARCH. Economipedia.com

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    • Fórmula Modelo GARCH (p,q): 
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