Intersección de sucesos

En palabras más sencillas, dados dos sucesos A y B, diremos que su intersección se compone por los sucesos elementales que tengan en común. También podríamos indicar que la intersección de sucesos implica responder a la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A y B al mismo tiempo?

El símbolo con el que se denota la intersección es el siguiente: ∩. Es como una U invertida. Así, si queremos denotar la intersección de A y B, pondríamos: A ∩ B

En la explicación, hasta ahora, hemos visto la intersección de dos sucesos. Por ejemplo, A ∩ B ó B ∩ A. Ahora bien, ¿Qué ocurre si tenemos más de dos sucesos?

La generalización de la intersección de sucesos nos da una solución para denotar la intersección, por ejemplo, de 50 sucesos. Supongamos que tenemos 7 sucesos, haremos uso de la siguiente notación:

A cada suceso, en lugar de llamarle A, B o cualquier letra, le vamos a llamar Si. S es el suceso y el subíndice i indica el número. De este modo, tendremos, en el ejemplo de 7 sucesos, la siguiente fórmula:

Lo que hemos hecho es desarrollar la notación. Simplemente es para ver lo que significa, pero solo poniendo lo que hay delante del igual se sabe que implica ese desarrollo. En lo anterior, de forma intuitiva, estaríamos diciendo ‘que salga S1 y que salga S2 y que salga S3 y que salga S4 y que salga S5 y que salga S6 y que salga S7’. Es decir, serían los elementos comunes que tengan los 7 sucesos.

La intersección de sucesos disjuntos simplemente no puede existir. Evidentemente, si dos sucesos son disjuntos, diremos que no tienen elementos en común. Y si no tienen elementos en común, el resultado es el conjunto vacío o suceso imposible.

En el caso de los sucesos no disjuntos, el resultado de la intersección serán los elementos en común. Vamos a ver un ejemplo de por qué la intersección de sucesos disjuntos no puede existir:

Supongamos que tenemos un espacio muestral compuesto por {1,2,3,4,5,6} dónde:

A: Que salga 1 o 2 {1,2}

B: Que salga mayor o igual que 5 {5,6}

A ∩ B = Ø

No existe la intersección. Es un suceso imposible. Esto ocurre porque los sucesos son disjuntos. Esto es, no tienen elementos en común.

Por su parte, la intersección de sucesos no disjuntos se calcula como:

La unión de sucesos es un tipo de operación matemática. Algunos tipos de operación son también la suma, la resta, la multiplicación. Cada una de ellas tienen una serie de propiedades. Por ejemplo, sabemos que el resultado de sumar 3 + 4, es exactamente el mismo que el de sumar 4 +3. En este punto, la unión de sucesos tiene varias propiedades que merece la pena conocer:

• Conmutativa: Quiere decir que el orden en que se escriba no altera el resultado. Por ejemplo:
  • A ∩ B = B ∩ A
  • C ∩ D = D ∩ C
• Asociativa: Suponiendo que existen tres sucesos, nos da igual cual hacer primero y cuál después. Por ejemplo:
  • (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
  • (A ∩ C) U B = (A ∩ B) ∩ C
• Distributiva: Cuando incluimos el tipo de operación intersección, se cumple la propiedad distributiva. Basta con ver el siguiente ejemplo:
  • A ∩ ( B U C) = (A U B) U (A U C)

Viendo estas propiedades, podemos ver de forma sencilla cómo son exactamente las mismas que en el caso de unión de sucesos.

Un ejemplo sencillo de la unión de dos sucesos A y B sería el siguiente. Supongamos el caso del lanzamiento de un dado perfecto. Un dado que tiene seis caras enumeradas del 1 al 6. De tal forma que los sucesos se definen a continuación:

A: Que salga mayor que 2. {3,4,5,6} en probabilidad es 4/6 => P(A) = 0,67

C: Que salga cinco. {5} en probabilidad es 1/6 => P(C) = 0,17

¿Cuál es la probabilidad de A ∩ C?

P(A ∩ C) = P(A) + P(C) – P(A U C)

Como P(A) y P(C) ya lo tenemos, vamos a calcular P(A U C)

A U C = {3,4,5,6} en probabilidades P(A U C) = 4/6 = 0,67

El resultado final es:

P(A U C) = P(A) + P(C) – P(A ∩ C) = 0,67 + 0,17 – 0,67 = 0,17 (17%)

La probabilidad de que salga mayor que 2 y a la vez que salga cinco es del 17%.