Lema de Ito

El matemático japonés Kiyosi Ito expresó en 1951 la regla de cadena del cálculo estocástico, dando a conocer así el famoso lema que lleva su nombre.

El cálculo estocástico define la contraparte del cálculo determinístico de Newton-Leibniz para funciones aleatorias. De hecho, el cálculo estocástico de Ito es una de las herramientas más útiles en las matemáticas financieras modernas, sobre el cual descansa prácticamente toda la teoría económica y el análisis financiero en tiempo continuo.

Más concretamente, en el comercio de acciones, el término estocástico se refiere a las oscilaciones en los precios de cierre. En otras palabras, los operadores emplean el análisis estocástico para decidir cuándo comprar y vender títulos; su suposición es que cuando el precio de cierre actual de una acción está cerca de su precio bajo o alto anterior, entonces el precio del día siguiente no será drásticamente más alto o más bajo, respectivamente.

Bajo esta perspectiva, el lema de Ito se utiliza frecuentemente para derivar el proceso estocástico seguido por el precio de un título derivado. Por ejemplo, si el activo subyacente (el subyacente es la fuente de la que se deriva el valor del instrumento financiero) sigue la moción geométrica browniana, entonces el lema del japonés demuestra que un título derivado -cuyo precio es una función del precio del activo subyacente y del tiempo- también sigue la moción geométrica browniana.

Para una mejor comprensión de esta teoría, primero habría que recordar qué es el movimiento browniano: se trata del desplazamiento aleatorio -por azar- que se observa en algunas partículas microscópicas cuando se encuentran en un medio fluido, en un líquido.

Fue el escocés Robert Brown -a quien debe su nombre- el biólogo que descubrió el fenómeno en 1827 pero su descripción matemática fue elaborada por Albert Einstein aunque bastantes años más tarde, en 1905. Sin embargo, a raíz de esta demostración, el famoso Nobel alemán abrió las puertas de la teoría atómica e inició el campo de la física estadística.

Dicho esto, la relación del principio browniano con el lema de Ito se explica del siguiente modo: si dos valores tienen la misma fuente de riesgo, una combinación apropiada de los dos valores puede eliminar ese riesgo; así pues, en principio, los derivados financieros nacieron para limitar dichos riesgos.

Es más, este resultado condujo al desarrollo del modelo matemático Black-Scholes-Merton -primera muestra analítica completa para valorar opciones– y al de numerosas teorías y aplicaciones de cobertura modernas.