Matriz identidad: Qué es y para qué se usa en matemáticas

¿Qué es una matriz identidad?

Una matriz identidad (MI) es una matriz cuadrada especial que se utiliza en álgebra lineal. Una matriz identidad de orden n es una matriz cuadrada donde todos sus elementos son ceros (0) menos los elementos de la diagonal principal que son unos (1). 

Imagina una cuadrícula de números, como un tablero de ajedrez. En una matriz identidad, todos los números en la diagonal principal, que va de la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha, son «1», mientras que todos los demás números son «0».

Matriz identidad: Explicación sencilla

Dicho de otra manera, es una matriz que no cambia el valor de otras matrices cuando se multiplica por ellas. Es como un «1» que multiplica a cualquier número y siempre deja el resultado igual.

Sirve para simplificar operaciones con matrices, ya que podemos usarla para comprobar si dos matrices son inversas entre sí.

Por tanto, nos ayuda a entender mejor el comportamiento de las matrices y a resolver ecuaciones que las involucran.

Representación de una matriz identidad

Podemos crear infinitas combinaciones de matrices unidad siempre y cuando respetemos la condición de ser una matriz cuadrada: tener el mismo número de filas (n) y de columnas (m). 

Propiedades

Cuando realizamos operaciones con la matriz unidad no debemos ponernos nerviosos. Debemos pensar en la MI como si fuera el número uno (1).

Número 1

• Cuando multiplicamos por uno (1) cualquier otro número nos queda el mismo número (neutralidad). Dada una constante z o escalar cualquiera:  

• Si hacemos el inverso del número uno (1), obtendremos el mismo número uno (1) (inversible).

• Cuando elevamos el número uno (1) h unidades, siempre nos quedará el número uno (1) (idempotencia).

Matriz identidad

• Neutralidad. Cuando la matriz unidad participa en una multiplicación de matrices, se dice producto neutro. Dada una matriz Z cualquiera:

• Inversible. La matriz inversa de la matriz unidad es la MI: 

• Idempotencia. La matriz inversa elevada h unidades (número natural) sigue siendo la matriz unidad: 

Procedimiento para identificar una MI

1. La matriz tiene que ser una matriz cuadrada.
2. La matriz debe tener unos (1) en la diagonal principal y ceros (0) en las otras posiciones. 

Aplicaciones

La MI participa en tantas ocasiones como el número uno (1) participa en álgebra. Por ejemplo, cuando multiplicamos una matriz cualquiera con su matriz inversa, obtendremos la matriz unidad.  

Ejemplo teórico 

¿Las siguientes matrices son MI? 

Matriz IA:

• Matriz cuadrada.
• No MI: en la diagonal principal hay un número distinto a uno (1) y en las demás posiciones hay un número distinto a cero (0). 

Matriz IB:  

• No matriz cuadrada.
• No MI. 

Matriz IC: 

• No matriz cuadrada. 
• No MI. 

Matriz ID: 

• Matriz cuadrada. 
• MI: en la diagonal principal hay unos (1) y en las demás posiciones hay ceros (0).

Matriz IE: 

• Matriz cuadrada. 
• No MI: aunque en las demás posiciones hay ceros (0), en la diagonal principal hay un número distinto a uno (1).