Matriz traspuesta: qué es y cómo se utiliza
- Se denota con un superíndice T o un apóstrofe en el nombre de la matriz.
- La transposición de una matriz cuadrada no afecta su diagonal principal.
- Es una operación fundamental en álgebra lineal y programación.
¿Qué es una matriz traspuesta?
Una matriz traspuesta es el resultado de cambiar la disposición de una matriz, intercambiando sus filas por columnas y viceversa.
Matriz traspuesta: Explicación sencilla
En otras palabras, cuando transpones una matriz, las filas de la matriz original se convierten en las columnas de la nueva matriz, y las columnas se convierten en las filas.
Es como si estuvieras rotando la matriz para verla desde otro ángulo.
Normalmente, cuando se realiza esta transposición, se indica con un superíndice T o un apóstrofe en el nombre de la matriz original.
Es importante recordar que este superíndice no es un exponente, sino una señal de que estamos trabajando con la matriz traspuesta.
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Fórmula de una matriz traspuesta nxm
Dada una matriz Z cualquiera con n filas y m columnas podemos construir la matriz traspuesta, ZT, que tendrá m filas y n columnas.
Trasposición de una matriz cuadrada
Dependiendo de la tipología de la matriz, el orden de la matriz también cambiará cuando hagamos su traspuesta.
Propiedades
Dada la matriz Z anterior,
- La traspuesta de una matriz traspuesta es la matriz original.
- La suma traspuesta de matrices es igual a la suma de las matrices traspuestas.
- El producto traspuesto de una constante h por una matriz es igual al producto de la constante h por la matriz traspuesta.
- El producto traspuesto de la multiplicación de matrices es igual al producto de la multiplicación de matrices traspuestas.
Aplicaciones
Las matrices traspuestas están más presentes de lo que creemos. En econometría encontramos trasposiciones cuando expresamos las matrices en forma cuadrática. Asimismo, la fórmula del estimador de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) en forma matricial:
Ejemplo teórico
Encuentra la matriz traspuesta de las siguientes matrices:
En Economipedia, queremos resolver todas tus dudas. Por eso, hemos recopilado las preguntas más frecuentes sobre este tema. Si no encuentras la respuesta que buscas, no dudes en dejarnos un comentario.
¿Cómo se calcula la matriz traspuesta?: Para calcularla, intercambia las filas por las columnas de la matriz original.
¿Qué simboliza el superíndice T en una matriz?: Indica que se está utilizando la matriz traspuesta, no es un exponente.
¿Qué ocurre con la diagonal principal en una matriz traspuesta?: La diagonal principal permanece inalterada tras la transposición.
