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Modelo ARMA

Paula Rodó
2 min
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El modelo ARMA es un modelo autorregresivo estacionario donde las variables independientes siguen tendencias estocásticas y el término de error es estacionario.

En otras palabras, el modelo ARMA incorpora en su regresión la autocorrelación y el modelo de media móvil. 

Artículos recomendados: teoría del paseo aleatorio, media condicionada, autorregresión.

Significado de ARMA

El modelo ARMA, del inglés, AutoRegressive Moving Average se divide en dos partes:

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  • Autorregresivo: La variable dependiente se regresa en sí misma en un período de tiempo t.
  • Media móvil: Los retrocesos son representados por procesos aleatorios.

Modelo AR

Matemáticamente

1. Partimos del modelo autorregresivo AR(p):

Modelo Arp

Donde:

Errores Iid

En otras palabras, el término de error sigue un proceso estocástico (variable aleatoria).

2. Establecemos la siguiente igualdad:

Igualdad Modelo Ar

4. Sustituimos la igualdad anterior en el AR(p) y obtenemos:

Sustitución Modelo Ar

4. Definimos un nuevo polinomio que dependa de R:

Polinomio Que Depende De R

Entonces,

Polinomio Desarollado Ar

Si multiplicamos el nuevo polinomio por Xt y pasamos todos los parámetros y regresores a la izquierda del igual, obtendremos el AR(p) inicial.

Del modelo autorregresivo nos quedamos la última ecuación:

Polinomio Despejado

Esta es la contribución del modelo autorregresivo al modelo ARMA.

Modelo de media móvil

Un modelo de media móvil es una autorregresión donde los regresores son los términos de error de cada período t.

Matemáticamente

1. Partimos del modelo autorregresivo AR(p) donde los regresores son el término de error:

Modelo Ar(p) Media Movil

Como el modelo autorregresivo, el término de error sigue un proceso estocástico (variable aleatoria) tal que:

Errores Iid 2

El modelo de media móvil es siempre estacionario, es decir, las variables independientes (términos de error rezagados) son variables aleatorias. En otras palabras, los términos de error de períodos anteriores son independientes de los términos de error actuales y tienen la misma distribución (idéntica) de probabilidad con media 0 y varianza condicional.

2. Establecemos la siguiente igualdad:

Igualdad Modelo Ar Para Ma

3. Sustituimos la igualdad anterior en el AR(p) del término de error y obtenemos:

Sustitución De Ar Para Ma

4. Definimos un nuevo polinomio que dependa de E:

Polinomio Que Depende De E

Sacamos factor común:

Factor Común

Del modelo de media móvil nos quedamos con la ecuación del punto 4:

Modelo Ma Definitivo

El modelo ARMA (p,q)

Matemáticamente

El modelo general de series temporales autorregresivo con media móvil de p términos autorregresivos y q términos de media móvil se expresa como:

Modelo Arma

¡Que no cunda el pánico! ¿Podemos simplificar algo?

Siempre se pueden simplificar las cosas. Recordamos las ecuaciones que hemos remarcado antes:

Modelo autorregresivo

Modelo Autorregresivo

Modelo de media móvil

Modelo De Media Móvil

Entonces, podemos ver que el modelo ARMA simplemente es la combinación del modelo autorregresivo y el modelo de media móvil (marcados en amarillo).

  • Diccionario económico
  • Econometría
  • Matemáticas

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Paula Rodó, 14 de enero, 2020
Modelo ARMA. Economipedia.com

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    Comentarios

    1. Sara

      6 de julio de 2020 a las 20:18

      Muy buena introducción al modelo, muy bien explicado, gracias!!

      Accede para responder

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