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Número áureo

Redactado por: Paula Rodó
Revisado por: Francisco Coll Morales
Actualizado el 1 agosto 2021

Tabla de contenidos

  • Definición técnica
  • Notación del número áureo
  • Demostración algebraica del número áureo
  • Propiedades del número áureo
  • Proporción áurea en la naturaleza
  • Ejemplo de número áureo

El número áureo o razón áurea es un número irracional que representa la igualdad entre la proporción de dos segmentos de diferente longitud y el cociente de la suma de ellos y el segmento con más longitud.

En otras palabras, el número áureo es la igualdad entre la división de dos segmentos de longitud distinta y la división de la suma de los dos segmentos y el segmento más largo.

Este número también recibe los nombres de número de oro o proporción divina, debido a sus aplicaciones a lo largo de la historia.

Notación del número áureo

El número áureo se representa mayoritariamente con la letra griega phi. También existen asociaciones hacia a la letra tau.

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Notación 1
Notación

La razón áurea puede expresarse mediante radicales, es decir, en su expresión matemática aparecerá una raíz, o en números decimales:

Expresión Algebraica 1
Expresión algebraica

Demostración algebraica del número áureo

Los orígenes de este número irracional pertenecen al campo de la geometría, pues esta proporción aparece cuando se trabaja con dos segmentos de distinta longitud. ¿Cómo puede pasarse de dos segmentos a un número decimal? A continuación, la demostración.

Suponemos que tenemos dos segmentos, X e Y, de distinta longitud, y donde el segmento X es más largo que el segmento Y. 

Semirecta
Semirecta

La proporción áurea cumple que:

Triple Igualdad
Triple igualdad

A partir de aquí se puede desarrollar la igualdad haciendo en producto cruzado:

Desarrollo
Desarrollo

El resultado es una ecuación de segundo grado que podemos resolver mediante su fórmula cerrada:

Ecuación De Segundo Grado Y Resultado 1
Ecuación de segundo grado y resultado

Entonces, Y pasa dividendo al otro lado del igual y encontramos la ecuación inicial:

Número Áureo 2
Número áureo

De esta forma hemos demostrado la intersección entre la fórmula de los segmentos geométricos y el origen del número irracional que conocemos. 

Propiedades del número áureo

A continuación, mostramos las propiedades del número áureo.

Propiedad 1

  • Este número es el único número real positivo que cumple la siguiente ecuación:
Propiedad 1 1
Propiedad 1

Esta ecuación puede deducirse separando la triple igualdad en dos ecuaciones:

Demostración Propiedad 1 1
Demostración propiedad 1

La ecuación 2 puede simplificarse separando la fracción en la suma de dos fracciones. Luego, podemos ver que la ecuación 2 está compuesta por la inversa de la ecuación 1, y podemos sustituir por phi elevado a -1. Entonces, para no dejar la ecuación con un exponente negativo, multiplicaremos ambos lados del igual por phi, resultando en la ecuación inicial de esta propiedad.

Propiedad 2

  • También pueden escribirse las siguientes igualdades:
Propiedad 2
Propiedad 2

Las tres igualdades pueden deducirse de la ecuación inicial de la primera propiedad. 

Proporción áurea en la naturaleza

Podemos encontrar el número áureo en objetos naturales que sigan la sucesión numérica de Fibonacci, en la cual la división de dos números consecutivos en la serie tiende a la proporción áurea.

La sucesión de Fibonacci es la sucesión infinita de los siguientes números naturales: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377… Si nos fijamos bien, cada número es la suma de los dos anteriores. Y, para llegar a la proporción áurea, tendremos que dividir cada número con el anterior.

Sucesión de FibonacciProporción
10
1100,0%
2200,0%
3150,0%
5166,7%
8160,0%
13162,5%
21161,5%
34161,9%
55161,8%
89161,8%
144161,8%
233161,8%
377161,8%
610161,8%

Como podemos observar, la división de un número por el anterior de la sucesión, tiende a dar como resultado el número áureo.

También aparece en la sucesión numérica de Lucas.

Ejemplo de número áureo

Demuestra que la tercera ecuación de la segunda propiedad es una derivación de ecuación de la primera propiedad:

Ejemplo 41
Ejemplo

  • Diccionario económico
  • Matemáticas

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Paula Rodó, 09 de septiembre, 2021
Número áureo. Economipedia.com

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    Índice

    • Definición técnica
    • Notación del número áureo
    • Demostración algebraica del número áureo
    • Propiedades del número áureo
    • Proporción áurea en la naturaleza
    • Ejemplo de número áureo

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