El número e es un número irracional que proporciona una base constante al logaritmo natural y puede entenderse como un límite de una progresión determinada.
En otras palabras, el número e es un decimal cuya parte decimal es no periódica y es el único número que hace que el logaritmo natural sea igual a 1.
Origen
El número e debe su nombre a sus descubridores ya que en algunas ocasiones podemos encontrar este número de la forma número de Euler (Leonhard Euler) o constante de Napier (John Napier).
Fórmula del número e
El número e se expresa mayoritariamente por la letra e. También podemos encontrarlo como una función exponencial cuando la variable es igual a 1:
Los 40 primeros decimales del número e son:
El número e y los límites
Tenemos que pensar en un límite de una función determinada cuando queramos entender el origen matemático del número e:
Esta función es una sucesión tal que:
Hablamos de sucesión porque podemos asignar valores ordenados a la variable n.
- Para n=1 tendremos f(1) = 2
- Para n= 20 tendremos f(20) = 2,65329
- Para n=100 tendremos f(100) = 2,7048
Podéis ver que a medida que incrementamos el valor de n, es decir, incrementamos la longitud de la sucesión, más se acerca el resultado de la función al número e. ¿Qué pasará para n = 10 000?
- Para n= 10 000 tendremos f(10 000) = 2,718146
La expresión matemática generalizada de la sucesión sería teniendo en cuenta que n se aproxima a infinito. En el siguiente gráfico se puede ver como la sucesión (línea negra) va acercándose al límite (línea azul), es decir, al número e, a medida que aumenta n.
Por tanto, a medida que n se aproxima a infinito, la función, es decir, f(n), se va colapsando en el número e, es decir, 2,7181.
Entonces, podemos entender el número e como un límite de una sucesión:
Aplicación
El número e aparece numerosas veces en los campos de cálculo, análisis matemático, teoría de números, estadística y geometría. También aparece en la disciplina de las finanzas, concretamente, en el cálculo de la rentabilidad continua o el interés continuo.
Ejemplo
Escribir dos fórmulas que contengan el número e.
Por ejemplo, podemos pensar en la función de densidad de la distribución normal (1) y, en el ámbito de los números complejos, podemos encontrar la identidad de Euler (2), formulada a través del número e:
