El punto de inflexión de una función matemática es aquel punto en el que la gráfica que la representa cambia de concavidad. Es decir, pasa de ser cóncavo a ser convexo, o viceversa.
El punto de inflexión, en otras palabras, es ese momento en el que la función cambia de tendencia.
Cabe destacar que una función puede tener más de un punto de inflexión, o no tenerlos del todo. Por ejemplo, una recta no tiene ningún punto de inflexión.
Asimismo, en términos matemáticos, el punto de inflexión se calcula igualando la segunda derivada de la función a cero. Así, despejamos la raíz (o raíces) de esa ecuación y la(s) llamaremos Xi.
Luego, reemplazamos Xi en la tercera derivada de la función. Si el resultado es diferente a cero, estamos frente a un punto de inflexión.
Sin embargo, si el resultado es cero, debemos reemplazar en las derivadas sucesivas, hasta que el valor de esta derivada, ya sea la tercera, cuarta o quinta, sea diferente a 0. Si la derivada es impar se trata de un punto de inflexión, pero si es par no.
Ejemplo de punto de inflexión
A continuación, veamos un ejemplo.
Supongamos que tenemos la siguiente función:
y=2x4+5x3+9x+14
Primera derivada: y’=8x3+15x2+9
Segunda derivada: y»=24x2+30x=0
24x2=-30x
24x=-30
x=-30/24
Xi=-1,25
Luego, reemplazamos Xi en la tercera derivada:
y»’=48x+30
y»’=48*(-1,25)+30=-30
Como el resultado es diferente a cero, nos encontramos frente a un punto de inflexión que sería cuando x es igual a -1,25 e y es igual a -2,1328, como lo demostraremos a continuación:
y=2x4+5x3+9x+14
y=2(-1,25)4+5(-1,25)3+9(-1,25)+14
y=(2*2,4414)+(5*-1,9531)+(9*-1,25)+14
y=4,8828+(-9,7656)+(-11,25)+14
y=-2,1328
En esta gráfica se observa que la función tiene un punto de inflexión:
Ahora, veamos otro ejemplo:
y=x4-54x2
y’=4x3-108x
y»=12x2-108=0
x2=108/12
x2=9
Xi=3 y -3
Luego, reemplazamos las dos raíces encontradas en la tercera derivada:
y»’=24x
y»’=24×3=72
y»’=24x-3=-72
Como el resultado es diferente a cero, tenemos dos puntos de inflexión en (3;-405) y (-3;-405). El dato de -405 resulta de reemplazar 3 y -3, respectivamente, en la función de y.
y=x4-54x2=34-54*32=81-486=405 (El resultado es el mismo con -3)
Para complementar la información, te invitamos a visitar el artículo de inflexión, donde abarcamos de forma más general dicho concepto:
