Punto de inflexión

El punto de inflexión de una función matemática es aquel punto en el que la gráfica que la representa cambia de concavidad. Es decir, pasa de ser cóncavo a ser convexo, o viceversa.

El punto de inflexión, en otras palabras, es ese momento en el que la función cambia de tendencia.

Cabe destacar que una función puede tener más de un punto de inflexión, o no tenerlos del todo. Por ejemplo, una recta no tiene ningún punto de inflexión.

Asimismo, en términos matemáticos, el punto de inflexión se calcula igualando la segunda derivada de la función a cero. Así, despejamos la raíz (o raíces) de esa ecuación y la(s) llamaremos Xi.

Luego, reemplazamos Xi en la tercera derivada de la función. Si el resultado es diferente a cero, estamos frente a un punto de inflexión.

Sin embargo, si el resultado es cero, debemos reemplazar en las derivadas sucesivas, hasta que el valor de esta derivada, ya sea la tercera, cuarta o quinta, sea diferente a 0. Si la derivada es impar se trata de un punto de inflexión, pero si es par no.

Ejemplo de punto de inflexión

A continuación, veamos un ejemplo.

Supongamos que tenemos la siguiente función:

y=2x⁴+5x³+9x+14

Primera derivada: y’=8x³+15x²+9

Segunda derivada: y»=24x²+30x=0

24x²=-30x

24x=-30

x=-30/24

Xi=-1,25

Luego, reemplazamos Xi en la tercera derivada:

y»’=48x+30

y»’=48*(-1,25)+30=-30

Como el resultado es diferente a cero, nos encontramos frente a un punto de inflexión que sería cuando x es igual a -1,25 e y es igual a -2,1328, como lo demostraremos a continuación:

y=2x⁴+5x³+9x+14

y=2(-1,25)⁴+5(-1,25)³+9(-1,25)+14

y=(2*2,4414)+(5*-1,9531)+(9*-1,25)+14

y=4,8828+(-9,7656)+(-11,25)+14

y=-2,1328

En esta gráfica se observa que la función tiene un punto de inflexión:

Ahora, veamos otro ejemplo:

y=x⁴-54x²

y’=4x³-108x

y»=12x²-108=0

x²=108/12

x²=9

Xi=3 y -3

Luego, reemplazamos las dos raíces encontradas en la tercera derivada:

y»’=24x

y»’=24×3=72

y»’=24x-3=-72

Como el resultado es diferente a cero, tenemos dos puntos de inflexión en (3;-405) y (-3;-405). El dato de -405 resulta de reemplazar 3 y -3, respectivamente, en la función de y.

y=x⁴-54x²=3⁴-54*3²=81-486=405 (El resultado es el mismo con -3)

Para complementar la información, te invitamos a visitar el artículo de inflexión, donde abarcamos de forma más general dicho concepto: