Punto de inflexión

El punto de inflexión, en otras palabras, es ese momento en el que la función cambia de tendencia.

Para hacernos una idea, empecemos viéndolo en una representación gráfica, grosso modo:

Cabe destacar que una función puede tener más de un punto de inflexión, o no tenerlos del todo. Por ejemplo, una recta no tiene ningún punto de inflexión.

Veamos, en la siguiente gráfica, un ejemplo de una función con más de un punto de inflexión:

Asimismo, en términos matemáticos, el punto de inflexión se calcula igualando la segunda derivada de la función a cero. Así, despejamos la raíz (o raíces) de esa ecuación y la(s) llamaremos Xi.

Luego, reemplazamos Xi en la tercera derivada de la función. Si el resultado es diferente a cero, estamos frente a un punto de inflexión.

Sin embargo, si el resultado es cero, debemos reemplazar en las derivadas sucesivas, hasta que el valor de esta derivada, ya sea la tercera, cuarta o quinta, sea diferente a 0. Si la derivada es impar se trata de un punto de inflexión, pero si es par no.

A continuación, veamos un ejemplo.

Supongamos que tenemos la siguiente función:

y=2x⁴+5x³+9x+14

y’=8x³+15x²+9

y»=24x²+30x=0

24x=-30

Xi=-1,25

Luego, reemplazamos Xi en la tercera derivada:

y»’=48x

y»’=48x-1,25=-60

Como el resultado es diferente a cero, nos encontramos frente a un punto de inflexión que sería cuando x es igual a -1,25 e y es igual a -2,1328, como lustramos en la siguiente gráfica.

En esta se observa que la función tiene un punto de inflexión:

Ahora, veamos otro ejemplo:

y=x⁴-54x²

y’=4x³-108x

y»=12x²-108=0

x²=9

Xi=3 y -3

Luego, reemplazamos las dos raíces encontradas en la tercera derivada:

y»’=24x

y»’=24×3=72

y»’=24x-3=-72

Como el resultado es diferente a cero, tenemos dos puntos de inflexión en (3;567) y (-3;567).

Para complementar la información, te invitamos a visitar el artículo de inflexión, donde abarcamos de forma más general dicho concepto: